Ensino Médio ⇒ Polinomio

[rodrigoas2]

O polinomio p(x)=x³+ax²+bx+c,com a,b,c reais, admite as raizes 1 e i. Então a-b+c é?
Gab:-3

[GiovanaMSP]

Pelo Teorema das Raízes Complexas Conjugadas, se i é raiz de P(x), logo, -i, que é conjugado de i, também é raiz de P(x).

Pela forma fatorada de um polinômio de grau 3: [tex3]P(x)=\beta(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/tex3]

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[tex3]P(x)=\beta(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/tex3]

, sendo [tex3]\beta[/tex3]

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[tex3]\beta[/tex3]

o coeficiente do termo de maior grau de P(x). Como [tex3]P(x)=x³+ax²+bx+c[/tex3]

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[tex3]P(x)=x³+ax²+bx+c[/tex3]

, logo, [tex3]\beta=1[/tex3]

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[tex3]\beta=1[/tex3]

.

Sendo [tex3](-i,i,1)[/tex3]

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[tex3](-i,i,1)[/tex3]

raízes de P(x), tem-se: [tex3]P(x)=(x-1)(x-i)(x+i)=x^3-x^2+x-1[/tex3]

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[tex3]P(x)=(x-1)(x-i)(x+i)=x^3-x^2+x-1[/tex3]

.

Comparando termo a termo [tex3]P(x)=x^3-x^2+x-1[/tex3]

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[tex3]P(x)=x^3-x^2+x-1[/tex3]

com [tex3]P(x)=x³+ax²+bx+c[/tex3]

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[tex3]P(x)=x³+ax²+bx+c[/tex3]

, encontra-se [tex3](a,b,c)=(-1,1,-1)[/tex3]

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[tex3](a,b,c)=(-1,1,-1)[/tex3]

.

Assim: [tex3]a-b+c=-1-1-1\ \therefore\ \boxed{a-b+c=-3}[/tex3]

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[tex3]a-b+c=-1-1-1\ \therefore\ \boxed{a-b+c=-3}[/tex3]

.