Pelo teorema de Lagrange, dado que temos 2010+1 pontos, existe um único polinômio de grau menor ou igual a 2010 que passará por esses pontos (que é o polinômio acima) e ele será da seguinte forma:
Na boa, a idéia é escrever o polinômio como a soma de outros polinômios de forma que cada parcela seja nula em todos os pontos menos em um e seja igual ao valor do polinômio original dado quando houver essa exceção. Então [tex3]a_k [/tex3]
Ao escrevermos a sua expressão, fica fácil de perceber que toda parcela dará 0 para qualquer valor de x entre os pontos dados (x=1 ... x=2011) menos quando colocamos um x=k, que dará 1 por conta da simetria no denomidador e numerador.
Sem mais delongas, já que eu sei a forma do polinômio dados os 2011 pontos, vamos escrever o [tex3]f(2012)[/tex3]
O numerador é muito parecido com 2011!, basta multiplicarmos e dividirmos por (2012-k) para que isso aconteça.
Além disso, no denominador, podemos ver que o produto das parcelas de (k-(k-1)) para trás é exatamente (k-1)!
Ainda no denominador, vemos que se multiplacarmos por (-1) "k-1"(numero de termos com a mesma forma) vezes, teremos (2011-k)!
Fazendo as alterações como forma de simplificar e usando o fato que [tex3]f(k)=\frac{-2}{k}\;k\in {1,2\,..\,2011}[/tex3]
O lado direito da equação está muuito parecido com o binomial até 2012, basta adicionar dois termos ao somatório: o termo em que k=2012 e k=0, que serão 1. Confirme jogando eles na expressão do somatório.
A motivação para o polinômio de Lagrange foi quando eu estava tentando determinar os coeficientes da equação escrevendo o sistema 2011x2011 e precisei resolver determinantes de matrizes de Vandermonde e, ao achar os dois primeiros termos, eu me liguei que estava muito parecido com Lagrange
Editado pela última vez por erihh3 em 22 Set 2018, 18:15, em um total de 1 vez.
Mil perdões, de fato a resposta é 502. Acontece que o gabarito está um pouco apagado e eu confundi a letra D (2013) com a letra B (502).. Novamente, muito obrigado.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Determine a e b em:
5x^{2} - 19x +18 ≡ (x-2)(x-3)+a(x-1)(x-3)+b(x-1)(x-2)
Últ. msg
Refiz meus cálculos e os valores de a e b estão errados.
Usando essas equações
\begin{cases}a+b+1 = 5 \\ -5-4a-3b = -19 \\ \end{cases}
Achei a e b = 2
Mas substituindo a na equação
6+3a+2b=18...
O conjunto solução S de P(x) = 0 , possui 3 elementos. Sabendo-se que P(x) = x^{6}-mx^{4}+16x^{3} , onde m\in \mathbb{R} , assinale a alternativa INCORRETA:
a) O número m é múltiplo de 3 .
b) Os...
Últ. msg
Colocando x^3 em evidência, percebemos que 0 é raiz tripla, então devemos ter mais duas raízes diferentes.
P(x) = x^{6}-mx^{4}+16x^{3}=x^3(x^3-mx+16) E para que tenhamos apenas outras 2 raízes...
Dado o polinômio f = x^{3}+ (k-3)x^{2}-(10+3k)x-10k , em que k\in R , decomponha f em fatores de 1º grau.
Resposta: (x+k)(x-5)(x+2)
Fiz o seguinte desenvolvimento, mas ficou bem diferente:...
Últ. msg
Partindo da expressão a que você chegou:
f=x\cdot\left(x+k\right)\cdot\left(x-3\right)-10\cdot\left(x+k\right)
f=\left(x+k\right)\cdot \left
f=\left(x+k\ight) \cdot \left(x^2-3x-10\right)...