Bom, vamos lá!
- [tex3]a+b+c=1 \Rightarrow -a-b-c=-1 \Rightarrow (1-a)+(1-b)+(1-c)=2[/tex3]
Sabe-se que a média aritmética é maior ou igual a média geométrica.
Portanto: [tex3]\frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3} \geq \sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}[/tex3]
- [tex3]\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq \frac{2}{3} \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c) \leq \frac{8}{27} \Rightarrow abc(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1) \leq \frac{8}{27}[/tex3]
(I)
[tex3]\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \Rightarrow abc \leq \frac{1}{27}[/tex3]
(II)
De (I) e (II), concluímos: [tex3]\(\frac{1}{a}-1\)\(\frac{1}{b}-1\)\(\frac{1}{c}-1\) \geq 8[/tex3]
Então italoemanuell, não sei se esta é a melhor solução mas por enquanto foi o único jeito que eu consegui. Por favor, se você souber de uma maneira melhor poste aí.
Editado pela última vez por
caju em 13 Dez 2017, 15:15, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> Tex3