IME / ITA ⇒ Valor máximo (Apostila IME/ITA) Tópico resolvido

[careca]

Apostila IME/ITA) Seja a,b,c,d são positivos cuja soma é 63. Calcule o valor máximo de ab + bc + cd

Resposta

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991

[Ittalo25]

Pela desigualdade das médias:
[tex3](a+b)(c+d) \leq\left(\frac{a+b+c+d}{2}\right)^2[/tex3]

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[tex3](a+b)(c+d) \leq\left(\frac{a+b+c+d}{2}\right)^2[/tex3]

[tex3]ab+bc+cd \leq\left(\frac{63}{2}\right)^2-da \leq 992-1 = 991[/tex3]

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[tex3]ab+bc+cd \leq\left(\frac{63}{2}\right)^2-da \leq 992-1 = 991[/tex3]

Agora basta ver se é possível [tex3]a=d=1 [/tex3]

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[tex3]a=d=1 [/tex3]

e [tex3]ab+bc+cd=991 [/tex3]

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[tex3]ab+bc+cd=991 [/tex3]

[tex3]ab+bc+cd=991 [/tex3]

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[tex3]ab+bc+cd=991 [/tex3]

[tex3]bc+c+b=991 [/tex3]

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[tex3]bc+c+b=991 [/tex3]

Sendo que: [tex3]b+c = 61 [/tex3]

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[tex3]b+c = 61 [/tex3]

Resolvendo:
[tex3]bc+c+b=991 [/tex3]

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[tex3]bc+c+b=991 [/tex3]

[tex3]bc=930 [/tex3]

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[tex3]bc=930 [/tex3]

[tex3]bc=30 \cdot 31 [/tex3]

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[tex3]bc=30 \cdot 31 [/tex3]

É possível então. Sendo assim: [tex3](ab+bc+cd)_{max}=991 [/tex3]

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[tex3](ab+bc+cd)_{max}=991 [/tex3]

[Deleted User 25040]

Ittalo25 n entendi pq a segunda inequação é verdadeira, pode detalhar um pouco mais?

[Ittalo25]

Ittalo25 n entendi pq a segunda inequação é verdadeira, pode detalhar um pouco mais?

Pelo enunciado, queremos que [tex3]\left(\frac{63}{2}\right)^2-da [/tex3]

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[tex3]\left(\frac{63}{2}\right)^2-da [/tex3]

seja máximo

para isso, precisamos minimizar [tex3]da [/tex3]

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[tex3]da [/tex3]

, e isso acontece quando [tex3]d=a=1 [/tex3]

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[tex3]d=a=1 [/tex3]