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Mensagem não lidapor **ASPIRANTE23** » 01 Mai 2024, 18:49

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Sejam as funções reais [tex3]𝑓(𝑥) ={x+a, x<0 e |x-1|,x>=0} e g(x)= {x+1, x<0 e (x-1)^2+b, x>=0}[/tex3] com 𝑎, 𝑏 ≥ 0. Sabendo que 𝑔𝑜𝑓(𝑥) é contínua para todo x real, determine essa função.

Resposta

c

Mensagem não lidapor **petras** » 01 Mai 2024, 19:12 · Mensagem não lida por **petras** » 01 Mai 2024, 19:12

ASPIRANTE23,

Digite as funções , qual a dificuldade. Complete seu enunciado

f(x) = x+a se x < 0 e |x-1| se x >=0??????

Mensagem não lidapor **παθμ** » 02 Mai 2024, 14:40 · Mensagem não lida por **παθμ** » 02 Mai 2024, 14:40

ASPIRANTE23, você pode usar o fato de que, se duas funções são contínuas, a composição delas também será contínua.

[tex3]f(0^-)=a=f(0^+)=|-1|=1 \Longrightarrow a=1.[/tex3]

[tex3]g(0^-)=1=g(0^+)=(-1)^2+b=b+1 \Longrightarrow b=0.[/tex3]

Ou seja, [tex3]g(f(x))=f(x)+1[/tex3] para f(x)<0 e [tex3](f(x)-1)^2[/tex3] para [tex3]f(x) \geq 0.[/tex3]

[tex3]f(x)<0[/tex3] automaticamente implica [tex3]x<0,[/tex3] pois f(x) é igual a um módulo para [tex3]x \geq 0.[/tex3] Daí, [tex3]x+1<0 \Longrightarrow x<-1,[/tex3] e portanto [tex3]g(f(x))=x+2[/tex3] para [tex3]x<-1.[/tex3]

Já [tex3]f(x) \geq 0[/tex3] implica [tex3]x\geq0[/tex3] OU [tex3]x+1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -1.[/tex3]

Ou seja, [tex3]g(f(x))=((f(x)-1)^2[/tex3] para [tex3]x \geq -1.[/tex3] Mas ainda precisamos separar em casos.

Para [tex3]-1 \leq x \leq 0:[/tex3] [tex3]f(x)=x+1 \Longrightarrow g(f(x))=x^2.[/tex3]

Para [tex3]x \geq 0:[/tex3] [tex3]g(f(x))=\left(|x-1|-1\right)^2=x^2-2x+2-2|x-1|.[/tex3]

Para [tex3]x \leq 1[/tex3] temos [tex3]|x-1|=1-x[/tex3] e então [tex3]g(f(x))=x^2.[/tex3]

Para [tex3]x \geq 1[/tex3] temos [tex3]|x-1|=x-1[/tex3] e então [tex3]g(f(x))=x^2-4x+4=(x-2)^2.[/tex3]

Conclusão:

[tex3]g(f(x))=x+2, \; \; x<-1.[/tex3]

[tex3]g(f(x))=x^2, \; \; -1 \leq x \leq 1.[/tex3]

[tex3]g(f(x))=(x-2)^2, \; \; x>1.[/tex3]

Alternativa C

IME / ITA ⇒ Função Composta Tópico resolvido

Função Composta

Re: Função Composta

Re: Função Composta

IME / ITA ⇒ Função Composta Tópico resolvido

Função Composta

Re: Função Composta

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