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Mensagem não lidapor **Pedro321** » 11 Jun 2011, 20:27 · Mensagem não lida por **Pedro321** » 11 Jun 2011, 20:27

Uma equação biquadrada tem duas raízes respectivamente iguais a [tex3]sqrt {2}[/tex3] e 3 . O valor do coeficiente do termo de 2º grau dessa equação é :

(A) 7
(B) -7
(C) 11
(D) -11
(E) 1

Mensagem não lidapor **danjr5** » 16 Jun 2011, 17:01 · Mensagem não lida por **danjr5** » 16 Jun 2011, 17:01

Pedro321 escreveu:Uma equação biquadrada tem duas raízes respectivamente iguais a [tex3]sqrt {2}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]sqrt {2}[/tex3]
e 3 . O valor do coeficiente do termo de 2º grau dessa equação é :

(A) 7
(B) -7
(C) 11
(D) -11
(E) 1

A eq. é dada por [tex3]ax^4 + bx^2 + c = 0[/tex3]
considere [tex3]x^2 = k[/tex3]

[tex3][sqrt{2}]^2 = k = 2[/tex3]
[tex3][3]^2 = k = 9[/tex3]

[tex3]ak^2 + bk + c = 0[/tex3]
4a + 2b + c = 0 ===============> - c = 4a + 2b
81a + 9b + c = 0 ==============> - c = 81a + 9b

81a + 9b = 4a + 2b
77a + 7b = 0
b = - 11a

- c = 4a + 2b
- c = 4a - 22a
c = 18a

[tex3]ax^4 + bx^2 + c = 0[/tex3]

[tex3]ax^4 - 11ax^2 + 18a = 0[/tex3]

[tex3]x^4 - 11x^2 + 18 = 0[/tex3]

Mensagem não lidapor **diogopfp** » 16 Jun 2011, 17:10 · Mensagem não lida por **diogopfp** » 16 Jun 2011, 17:10

Pq a=1?
Não poderia ser qualquer outro número?
Acho q a questão está mau formulada, existem infinitas equações com essas condições.

Mensagem não lidapor **danjr5** » 16 Jun 2011, 17:35 · Mensagem não lida por **danjr5** » 16 Jun 2011, 17:35

Diogo,
não entendi sua indagação. Poderia ser mais claro?!

16 Jun 2011, 19:29

Podemos fazer da seguinte forma.
Equação biquadrada
[tex3]ax^4+bx^2+c=0[/tex3]

O que se pede é o valor de b.

Como [tex3]\sqrt{2}[/tex3] é raiz, então,[tex3]{-\sqrt{2}}[/tex3] também é.

Logo as raízes são:[tex3]\{\sqrt{2},-\sqrt{2},3,k\}[/tex3]

Por Girard, vem:
[tex3]S=-\frac{0}{a}=3+k\rightarrow \boxed{k=-3}[/tex3]

Fazendo [tex3]x^2=y[/tex3] , para qualquer raiz temos
[tex3]y_1=2[/tex3]
[tex3]y_2=9[/tex3]

Logo,
[tex3]ay^2+by+c=0[/tex3]
[tex3]ay^2-(y_1+y_2)y+y_1y_2=ay^2-11y+18=0[/tex3]

Portanto, o valor desejado é [tex3]\boxed{b=-11}[/tex3]

Abraço.

Edit: "comi" a letra (a) na última equação.

Mensagem não lidapor **diogopfp** » 16 Jun 2011, 21:19 · Mensagem não lida por **diogopfp** » 16 Jun 2011, 21:19

considere a equação:
[tex3]ax^4+bx^2+c=0[/tex3]
Então
[tex3]kax^4+kbx^2+kc=0[/tex3]
tem as mesmas raízes para qualquer valor real de [tex3]k[/tex3] .

Por exemplo, a equação [tex3]x^4-11x^2+18=0[/tex3] tem raízes [tex3]\sqrt{2}[/tex3] e 3, mas [tex3]2x^4-22x^2+36=0[/tex3] também tem raízes [tex3]\sqrt{2}[/tex3] e 3.

Mensagem não lidapor **diogopfp** » 16 Jun 2011, 21:22 · Mensagem não lida por **diogopfp** » 16 Jun 2011, 21:22

filipecaceres escreveu:Podemos fazer da seguinte forma.
Equação biquadrada
[tex3]ax^4+bx^2+c=0[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]ax^4+bx^2+c=0[/tex3]

O que se pede é o valor de b.

Como [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
é raiz, então,[tex3]{-\sqrt{2}}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]{-\sqrt{2}}[/tex3]
também é.

Logo as raízes são:[tex3]\{\sqrt{2},-\sqrt{2},3,k\}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\{\sqrt{2},-\sqrt{2},3,k\}[/tex3]

Por Girard, vem:
[tex3]S=-\frac{0}{a}=3+k\rightarrow \boxed{k=-3}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]S=-\frac{0}{a}=3+k\rightarrow \boxed{k=-3}[/tex3]

Não precisa fazer conta nenhuma pra saber que -3 também é raiz.

16 Jun 2011, 21:29

Vai saber né, tem pessoas que não sabem, por isso tento explicar da onde surgiu o -3.

Eu marcaria a letra D, você discorda?O que você marcaria?

Abraço.

Mensagem não lidapor **diogopfp** » 16 Jun 2011, 22:18 · Mensagem não lida por **diogopfp** » 16 Jun 2011, 22:18

com certeza a letra D é a única possível, mas acho que a questão está mau formulada pois existem infinitas possibilidades.

Mensagem não lidapor **Pedro321** » 17 Jun 2011, 06:38 · Mensagem não lida por **Pedro321** » 17 Jun 2011, 06:38

Valeu! Muito obrigado.

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