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Mensagem não lidapor **MilkShake** » 07 Fev 2021, 09:14 · Mensagem não lida por **MilkShake** » 07 Fev 2021, 09:14

(MACK-71) É dada a equação
(2 [tex3]\cos ^{2}\alpha [/tex3] ) [tex3]x^{2}[/tex3] - (4 [tex3]\cos \alpha [/tex3] ) x + ( 4 [tex3]\cos ^{2}\alpha[/tex3] - 1 ) = 0
sendo 0 [tex3]\leq [/tex3] [tex3]\alpha [/tex3] [tex3]\leq [/tex3] [tex3]\pi [/tex3] .

a) Para que valores de [tex3]\alpha [/tex3] a equação tem soluções reais?
b) Para que valores de [tex3]\alpha [/tex3] a equação admite raízes reais negativas?

Resposta

a) {[tex3]\alpha [/tex3] [tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] |[tex3]\frac{\pi }{6}[/tex3] [tex3]\leq [/tex3] [tex3]\alpha [/tex3] [tex3]\leq [/tex3] [tex3]\frac{5\pi }{6}[/tex3] }
b) {[tex3]\alpha [/tex3] [tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] | [tex3]\frac{2\pi }{3}[/tex3] < [tex3]\alpha [/tex3] [tex3]\leq [/tex3] [tex3]\frac{5\pi }{6}[/tex3] }

[tex3](2cos^{2}\alpha )x^{2}-(4cos\alpha )x+(4cos^{2}\alpha -1)=0[/tex3]

a) Para que hajam raízes reais, é necessário que: [tex3]\Delta \geq 0[/tex3]

[tex3]\Delta =(-4cos\alpha)^{2}-4.2cos^{2}\alpha .(4cos^{2}\alpha-1) [/tex3]
[tex3]\Delta =16cos^{2}\alpha-32cos^{4}\alpha+8cos^{2}\alpha[/tex3]
[tex3]\Delta =-32cos^{4}\alpha+24cos^{2}\alpha[/tex3]

[tex3]-32cos^{4}\alpha+24cos^{2}\alpha\geq 0[/tex3]

Trocando: [tex3]cos^{2}\alpha =K[/tex3]

[tex3]-32K^{2}+24K\geq 0[/tex3]
[tex3]-32K^{2}+24K= 0[/tex3]
[tex3]\Delta _{2}=576[/tex3]
[tex3]K=\frac{-24\pm 24}{-64}[/tex3]
[tex3]K_{1}=0[/tex3]
[tex3]K_{2}=\frac{3}{4}[/tex3]

: Screenshot_8.png (4.14 KiB) Exibido 641 vezes

Destrocando:
[tex3]cos^{2}\alpha=0[/tex3] , [tex3]cos\alpha=0[/tex3] , [tex3]\alpha =\frac{\pi }{2} [/tex3]

[tex3]cos^{2}\alpha=\frac{3}{4}[/tex3] , [tex3]cos\alpha=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] , [tex3]\alpha =\frac{\pi }{6}[/tex3] ou [tex3]\alpha =\frac{5\pi }{6}[/tex3]

Portanto,
S= {[tex3]\alpha \in R[/tex3] / [tex3]\frac{\pi }{6}\leq \alpha \leq \frac{5\pi }{6}[/tex3] }

Estou sem tempo agora, mais tarde tento resolver o item b.

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