Ensino Médio ⇒ Teoremas de geometria - Recíproca Tópico resolvido

[Babi123]

A maioria dos Teoremas de geometria vejo a prova da "ida", mas e a volta? É sempre válida?

Exemplos:
1) Teorema de Ptolomeu: "Dado o quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

se [tex3]AB\cdot CD+BC\cdot DA=BD\cdot CA[/tex3]

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[tex3]AB\cdot CD+BC\cdot DA=BD\cdot CA[/tex3]

, então [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

é inscritível?"

2) Teorema da Bissetriz Interna: " Seja [tex3]∆ABC[/tex3]

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[tex3]∆ABC[/tex3]

com [tex3]D\in AC[/tex3]

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[tex3]D\in AC[/tex3]

, se [tex3]\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}[/tex3]

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[tex3]\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}[/tex3]

, então [tex3]BD[/tex3]

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[tex3]BD[/tex3]

é Bissetriz interna de [tex3]∆ABC[/tex3]

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[tex3]∆ABC[/tex3]

?"

[FelipeMartin]

90% do tempo, SIM! A volta é válida e a prova dela é muito parecida com a ida. Mas tem aqueles 10% né kkkkk

Esses dois exemplos que você deu a volta é válida sim.

O Ptolomeu é bem mais difícil de provar a volta do que a ida.

É bom assumir que a volta é válida e tentar justificá-la, dá pra fazer muitas vezes.

A prova da volta do teorema da bissetriz interna é a prova de que a razão pela qual um ponto divide um segmento determina biunivocamente o ponto. Foi a primeira das coisas que eu provei pra começar a falar em razão cruzada/anarmônica. Se [tex3]r = - \frac{c}{a} = \frac{AD}{CD}[/tex3]

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[tex3]r = - \frac{c}{a} = \frac{AD}{CD}[/tex3]

então o ponto [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

é único viewtopic.php?t=70010 se você não considerar o módulo de [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

, ou seja, se você não se preocupar com a posição do ponto [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

em relação a [tex3]AC[/tex3]

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[tex3]AC[/tex3]

, então [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

poderá ser pé da bissetriz interna ou pé da bissetriz externa do triângulo. A diferença das razões estaria no sinal.

[Babi123]

Obrigada FelipeMartin. Uma vez ou outra me deparo com o fato de ter que usar a volta de Teoremas, o mesmo vale também para pontos notáveis como por exemplo o baricentro (duas medianas de um triângulo cumprindo a razão 2:1)...?

[FelipeMartin]

Babi123, sim, é válido nesse caso também. A razão (levando em conta o sinal) determina unicamente o ponto na reta.