Ensino Superior ⇒ Integral Múltipla sobre uma região Tópico resolvido

[Aliceeng]

Esboce a região de integração e calcule a integral

integral dupla

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[AnthonyC]

Temos que [tex3]0\leq x\leq \pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0\leq x\leq \pi[/tex3]

e [tex3]0\leq y\leq x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0\leq y\leq x[/tex3]

. Logo:

areadeintegral.png (19.35 KiB) Exibido 685 vezes

[tex3]\int_0^\pi\int_0^x x\sen(y)dydx=\int_0^\pi x\int_0^x \sen(y)dydx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_0^\pi\int_0^x x\sen(y)dydx=\int_0^\pi x\int_0^x \sen(y)dydx[/tex3]

[tex3]\int_0^\pi\int_0^x x\sen(y)dydx=\int_0^\pi x[-\cos(y)]_0^xdx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_0^\pi\int_0^x x\sen(y)dydx=\int_0^\pi x[-\cos(y)]_0^xdx[/tex3]

[tex3]\int_0^\pi\int_0^x x\sen(y)dydx=\int_0^\pi x[-\cos(x)+1]dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_0^\pi\int_0^x x\sen(y)dydx=\int_0^\pi x[-\cos(x)+1]dx[/tex3]

[tex3]\int_0^\pi\int_0^x x\sen(y)dydx=\int_0^\pi [-x\cos(x)+x]dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_0^\pi\int_0^x x\sen(y)dydx=\int_0^\pi [-x\cos(x)+x]dx[/tex3]

Fazendo integral por partes, obtemos:
[tex3]\int_0^\pi\int_0^x x\sen(y)dydx= \[-x\sen(x)-\cos(x)+{x^2\over2}\]_0^\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_0^\pi\int_0^x x\sen(y)dydx= \[-x\sen(x)-\cos(x)+{x^2\over2}\]_0^\pi[/tex3]

[tex3]\int_0^\pi\int_0^x x\sen(y)dydx=2+{\pi^2\over2}[/tex3]