Ensino Superior ⇒ Questão de cálculo 1
Jul 2021
13
20:23
Questão de cálculo 1
Verifique as condições do teorema do valor médio para a função f(x)=sen(2x) no intervalo [0,pi] e determine os valores de c E(0,pi) que satisfaz a conclusão do teorema.
Jul 2021
26
14:49
Re: Questão de cálculo 1
Hipótese: [tex3]f[/tex3]
é contínua em [tex3][a,b][/tex3]
e derivável em [tex3](a,b)[/tex3]
Tese: [tex3]\exists c \in (a,b) : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/tex3]
Temos que existe um pelo menos um [tex3]c\in(0,\pi)[/tex3] tal que [tex3]f'(c)=\frac{\sen(2b)-\sen(2a)}{b-a} \implies f'(c)=\frac{\sen (2\pi)-\sen (2.0)}{\pi-0}=0[/tex3]
Então eu quero que exista pelo menos um [tex3]c\in (0,\pi)[/tex3] tal que [tex3]f'(c)=0[/tex3] , então primeiramente devemos verificar se [tex3]f[/tex3] é contínua em [tex3][0,\pi][/tex3] e derivável em [tex3](0,\pi)[/tex3] , mas para isso usaremos como verdade que [tex3]f(x)=\sen (x)[/tex3] é derivável em seu domínio, logo temos que [tex3]D_f =\mathbb{R}[/tex3] e com certeza é contínua em [tex3][0,\pi][/tex3] e derivável em [tex3](0,\pi)[/tex3] satisfazendo as hipóteses para o teorema do valor médio.
Com as hipóteses satisfeitas, temos que [tex3]f'(x)=(\sin(2x))' \implies f'(x)=2\cos(2x)[/tex3] , então forçamos que:
[tex3]\ \implies f'(c)=0 \implies 2\cos(2c)=0 \\\\\ \implies \cos(2c)=0 \\\\\ \implies 2c=\arccos(0) \\\\\ \implies 2c=\frac{\pi}{2}+k\pi \\\\\ \implies \boxed{c=\frac{\pi}{4}+ \frac{k\pi}{2}, \forall k\in \mathbb{Z}}[/tex3]
Note que [tex3]\cos(2\pi-2c)=0 \implies c=\frac{\pi}{4}+ \frac{k\pi}{2}, \forall k\in \mathbb{Z}[/tex3] , então só tem essa solução.
Mas, como [tex3]c\in (0,\pi)[/tex3] , [tex3]k[/tex3] só pode ser 0 e 1. Então para [tex3]k=0 \implies c=\frac{\pi}{4}[/tex3] e para [tex3]k=1 \implies c=\frac{3\pi}{4}[/tex3] .
Espero ter ajudado!
Tese: [tex3]\exists c \in (a,b) : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/tex3]
Temos que existe um pelo menos um [tex3]c\in(0,\pi)[/tex3] tal que [tex3]f'(c)=\frac{\sen(2b)-\sen(2a)}{b-a} \implies f'(c)=\frac{\sen (2\pi)-\sen (2.0)}{\pi-0}=0[/tex3]
Então eu quero que exista pelo menos um [tex3]c\in (0,\pi)[/tex3] tal que [tex3]f'(c)=0[/tex3] , então primeiramente devemos verificar se [tex3]f[/tex3] é contínua em [tex3][0,\pi][/tex3] e derivável em [tex3](0,\pi)[/tex3] , mas para isso usaremos como verdade que [tex3]f(x)=\sen (x)[/tex3] é derivável em seu domínio, logo temos que [tex3]D_f =\mathbb{R}[/tex3] e com certeza é contínua em [tex3][0,\pi][/tex3] e derivável em [tex3](0,\pi)[/tex3] satisfazendo as hipóteses para o teorema do valor médio.
Com as hipóteses satisfeitas, temos que [tex3]f'(x)=(\sin(2x))' \implies f'(x)=2\cos(2x)[/tex3] , então forçamos que:
[tex3]\ \implies f'(c)=0 \implies 2\cos(2c)=0 \\\\\ \implies \cos(2c)=0 \\\\\ \implies 2c=\arccos(0) \\\\\ \implies 2c=\frac{\pi}{2}+k\pi \\\\\ \implies \boxed{c=\frac{\pi}{4}+ \frac{k\pi}{2}, \forall k\in \mathbb{Z}}[/tex3]
Note que [tex3]\cos(2\pi-2c)=0 \implies c=\frac{\pi}{4}+ \frac{k\pi}{2}, \forall k\in \mathbb{Z}[/tex3] , então só tem essa solução.
Mas, como [tex3]c\in (0,\pi)[/tex3] , [tex3]k[/tex3] só pode ser 0 e 1. Então para [tex3]k=0 \implies c=\frac{\pi}{4}[/tex3] e para [tex3]k=1 \implies c=\frac{3\pi}{4}[/tex3] .
Espero ter ajudado!
Editado pela última vez por Marquest em 26 Jul 2021, 15:02, em um total de 2 vezes.
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