Encontre todas as funções [tex3]f[/tex3]
definida nos reais positivos e assumindo valores reais tais que
[tex3]f(x)+f(y) \leq \dfrac{f(x+y)}{2}[/tex3]
e [tex3]\dfrac{f(x)}{x} + \dfrac{f(y)}{y} \geq \dfrac{f(x+y)}{x+y}[/tex3]
para todos reais positivos [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
.
Olimpíadas ⇒ Inequações Funcionais
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goncalves3718
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Jan 2021
08
17:03
Inequações Funcionais
Editado pela última vez por goncalves3718 em 09 Jan 2021, 11:52, em um total de 1 vez.
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goncalves3718
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Jan 2021
08
22:09
Re: Equações Funcionais
Se [tex3]x=y[/tex3]
:
[tex3]f(x)+f(x) \leq \dfrac{f(x+x)}{2} \implies 2f(x) \leq \dfrac{f(2x)}{2} \implies 4f(x) \leq f(2x)[/tex3]
[tex3]\dfrac{f(x)}{x} + \frac{f(x)}{x} \geq \dfrac{f(x+x)}{x+x} \implies 2 \cdot \dfrac{f(x)}{x} \geq \dfrac{f(2x)}{2x} \implies 2f(x) \cdot 2x \geq f(2x)
\cdot x \implies 4f(x) \geq f(2x)[/tex3]
A única possibilidade é [tex3]\boxed{\boxed{4f(x) = f(2x)}} [/tex3]
O que acha undefinied3?
[tex3]f(x)+f(x) \leq \dfrac{f(x+x)}{2} \implies 2f(x) \leq \dfrac{f(2x)}{2} \implies 4f(x) \leq f(2x)[/tex3]
[tex3]\dfrac{f(x)}{x} + \frac{f(x)}{x} \geq \dfrac{f(x+x)}{x+x} \implies 2 \cdot \dfrac{f(x)}{x} \geq \dfrac{f(2x)}{2x} \implies 2f(x) \cdot 2x \geq f(2x)
\cdot x \implies 4f(x) \geq f(2x)[/tex3]
A única possibilidade é [tex3]\boxed{\boxed{4f(x) = f(2x)}} [/tex3]
O que acha undefinied3?
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goncalves3718
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