OlimpíadasInequações Funcionais

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).
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goncalves3718
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Jan 2021 08 17:03

Inequações Funcionais

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Encontre todas as funções [tex3]f[/tex3] definida nos reais positivos e assumindo valores reais tais que

[tex3]f(x)+f(y) \leq \dfrac{f(x+y)}{2}[/tex3] e [tex3]\dfrac{f(x)}{x} + \dfrac{f(y)}{y} \geq \dfrac{f(x+y)}{x+y}[/tex3]

para todos reais positivos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] .

Editado pela última vez por goncalves3718 em 09 Jan 2021, 11:52, em um total de 1 vez.
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goncalves3718
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Jan 2021 08 22:09

Re: Equações Funcionais

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Se [tex3]x=y[/tex3] :

[tex3]f(x)+f(x) \leq \dfrac{f(x+x)}{2} \implies 2f(x) \leq \dfrac{f(2x)}{2} \implies 4f(x) \leq f(2x)[/tex3]

[tex3]\dfrac{f(x)}{x} + \frac{f(x)}{x} \geq \dfrac{f(x+x)}{x+x} \implies 2 \cdot \dfrac{f(x)}{x} \geq \dfrac{f(2x)}{2x} \implies 2f(x) \cdot 2x \geq f(2x)
\cdot x \implies 4f(x) \geq f(2x)[/tex3]

A única possibilidade é [tex3]\boxed{\boxed{4f(x) = f(2x)}} [/tex3]

O que acha undefinied3?

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goncalves3718
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Re: Equações Funcionais

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Isso deve ser importante!

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