Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP 2021) Três Circunferências Tangentes Tópico resolvido

[MateusQqMD]

A figura abaixo exibe três círculos tangentes dois a dois e os três tangentes a uma mesma reta. Os raios dos círculos maiores têm comprimento [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

e o círculo menor tem raio de comprimento [tex3]r. [/tex3]

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[tex3]r. [/tex3]

(UNICAMP 2021) Circunferências Tangentes.png (44.31 KiB) Exibido 3495 vezes

A razão [tex3]R/r[/tex3]

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[tex3]R/r[/tex3]

é igual a

a) 3.
b) [tex3]\sqrt{10}.[/tex3]

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[tex3]\sqrt{10}.[/tex3]

c) 4.
d) [tex3]2\sqrt{5}. [/tex3]

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[tex3]2\sqrt{5}. [/tex3]

[MateusQqMD]

A relação entre os raios de três circunferências tangentes entre si é

[tex3]\frac{1}{\sqrt{R_1}}=\frac{1}{\sqrt{R_2}}+\frac{1}{\sqrt{R_3}},[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{\sqrt{R_1}}=\frac{1}{\sqrt{R_2}}+\frac{1}{\sqrt{R_3}},[/tex3]

em que [tex3]R_1[/tex3]

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[tex3]R_1[/tex3]

é o raio da circunferência interna e [tex3]R_2[/tex3]

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[tex3]R_2[/tex3]

e [tex3]R_3[/tex3]

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[tex3]R_3[/tex3]

o raio das circunferências externas.

Demonstrações:

Demonstração - Três circunferências tangentes

(Demonstração) Relação entre os raios de três circunferências tangente entre si


e daí segue que

[tex3]\frac{1}{\sqrt{R_1}}=\frac{1}{\sqrt{R_2}}+\frac{1}{\sqrt{R_3}} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \frac{1}{\sqrt{r}} = \frac{1}{\sqrt{R}} + \frac{1}{\sqrt{R}}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{\sqrt{R_1}}=\frac{1}{\sqrt{R_2}}+\frac{1}{\sqrt{R_3}} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \frac{1}{\sqrt{r}} = \frac{1}{\sqrt{R}} + \frac{1}{\sqrt{R}}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\sqrt{r}} = \frac{2}{\sqrt{R}} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{r}} = 2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \frac{R}{r} = 4[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{\sqrt{r}} = \frac{2}{\sqrt{R}} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{r}} = 2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \frac{R}{r} = 4[/tex3]