Resposta
Se possível uma solução por Complexos
Olimpíadas ⇒ Putnam 1967 - Geometria Tópico resolvido
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Babi123
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Jul 2020
25
17:24
Putnam 1967 - Geometria
(Putnam 1967) Seja [tex3]ABCDEF[/tex3]
um hexágono inscrito em uma circunferência de raio [tex3]r[/tex3]
de modo que [tex3]AB=CD=EF=r[/tex3]
. Prove que os pontos médios dos segmentos [tex3]BC, DE, FA[/tex3]
são vértices de um triângulo equilátero.
Se possível uma solução por Complexos
Se possível uma solução por Complexos
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danielbabico
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Jul 2020
26
09:10
Re: Putnam 1967 - Geometria
Babi,bom dia!
Seja o triângulo AOB equilátero de lado R.
Seja a’ o vertice do triângulo que queremos provar que é equilátero.
Ao traçarmos a altura Oa’,verificamos que essa mesma altura e também lado do nosso suposto triângulo equilátero a’OH,mede [tex3]RV3/2[/tex3] .
O lado OH ele é altura do triângulo equilátero COD de lado R,portando também mede [tex3]RV3/2[/tex3] .
Analisando os ângulos da figura,vemos que o ângulo a’OH vale 60,e sendo esse triângulo isósceles,provamos que o mesmo tem que ser equilátero! De lado RV3/2.
Não consegui pensar em uma resolução por complexos,se alguém souber,será genial.
Seja o triângulo AOB equilátero de lado R.
Seja a’ o vertice do triângulo que queremos provar que é equilátero.
Ao traçarmos a altura Oa’,verificamos que essa mesma altura e também lado do nosso suposto triângulo equilátero a’OH,mede [tex3]RV3/2[/tex3] .
O lado OH ele é altura do triângulo equilátero COD de lado R,portando também mede [tex3]RV3/2[/tex3] .
Analisando os ângulos da figura,vemos que o ângulo a’OH vale 60,e sendo esse triângulo isósceles,provamos que o mesmo tem que ser equilátero! De lado RV3/2.
Não consegui pensar em uma resolução por complexos,se alguém souber,será genial.
- Anexos
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- 82761533-47A5-434E-B72F-14F75F519341.jpeg (76.06 KiB) Exibido 1464 vezes
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snooplammer
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Jul 2020
26
14:49
Re: Putnam 1967 - Geometria
Primeiro, devemos buscar uma condição envolvendo números complexos para que um triângulo seja equilátero
Uma condição necessária é que o ângulo entre [tex3]\overrightarrow{z_1z_2}[/tex3]
e [tex3]\overrightarrow{z_1z_3}[/tex3]
seja [tex3]60^\circ[/tex3]
.
[tex3]\overrightarrow{z_1z_3} =\overrightarrow{z_1z_2}\cis \frac{ \pi}{3} [/tex3]
[tex3]z_3 - z_1 =(z_2-z_1)\cis \frac{\pi}{3}[/tex3]
[tex3]z_3 - z_1 = z_2 \cis \frac{\pi}{3} - z_1\cis\frac{\pi}{3}[/tex3]
[tex3]z_3 - z_2 \cis \frac{\pi}{3} - z_1 + z_1 \cis \frac{\pi}{3} = 0[/tex3]
[tex3]z_3 - z_2 \cis \frac{\pi}{3} + z_1\(\cis \frac{\pi}{3} - 1\) = 0[/tex3]
[tex3]z_3 - z_2 \cis \frac{\pi}{3} + z_1\cis \frac{2\pi}{3} = 0[/tex3]
Podemos deixar tudo positivo e vai ficar mais bonitinho, só lembrar que [tex3]\cis \pi = - 1[/tex3]
[tex3]z_3 + z_2 \cis \frac{4\pi}{3} + z_1\cis \frac{2\pi}{3} = 0 [/tex3]
Chamando [tex3]w = \cis \frac{2\pi}{3} [/tex3]
[tex3]z_3 + z_1w + z_2 w^2 = 0[/tex3]
Perceba que essa é a condição para que 3 pontos no plano complexo formem um triângulo equilátero. A condição satisfaz tanto a ida quanto a volta.
Dizer que [tex3]\overrightarrow{z_1z_3} =\overrightarrow{z_1z_2}\cis \frac{ \pi}{3} [/tex3] significa dizer que [tex3]\overline{z_1z_3} = \overline{z_1z_2} [/tex3] , ou seja aquele triângulo é isósceles, e que o ângulo entre essas duas "retas" é [tex3]60^\circ[/tex3] .
Dito isso, vamos propriamente à questão.
Achei essa imagem aqui no forum, então vou usar pra facilitar a minha vida kkkkk
[tex3]M_1 =\frac{B + C}{2}[/tex3]
[tex3]M_2 = \frac{A+F}{2}[/tex3]
[tex3]M_3 = \frac{D+E}{2}[/tex3]
[tex3]F =r[/tex3]
[tex3]A = r\cis 60^\circ[/tex3]
[tex3]B =r\cis 120 ^\circ[/tex3]
[tex3]C = -r[/tex3]
[tex3]D = r\cis 240^\circ[/tex3]
[tex3]E = r\cis 300 ^\circ[/tex3]
Daí,
[tex3]M_1 = \frac{r(\cis 120^\circ - 1)}{2}[/tex3]
[tex3]M_2 =\frac{r(\cis 60^\circ + 1)}{2}[/tex3]
[tex3]M_3 = \frac{r(\cis 240^\circ + \cis 300^\circ)}{2}[/tex3]
Agora precisamos mostrar que [tex3]M_2+M_1w+M_3w^2 = 0[/tex3] é verdade, para satisfazer a condição de triângulo equilátero.
[tex3]\frac{r(\cis 60^\circ + 1)}{2}+ \frac{r(\cis 120^\circ - 1)}{2}w + \frac{r(\cis 240^\circ + \cis 300^\circ)}{2}w^2 [/tex3]
Substituindo [tex3]w = \cis \frac{2\pi}{3}[/tex3] , vem que a expressão acima é igual a
[tex3]\frac{r(\cis 60^\circ +1)}{2}+ \frac{r(\cis 240^\circ- \cis120^\circ)}{2}+ \frac{r(\cis 120^\circ -1)}{2}[/tex3] , e é fácil verificar que
[tex3]\frac{r(\cis 60^\circ +1)}{2}+ \frac{r(\cis 240^\circ- \cis120^\circ)}{2}+ \frac{r(\cis 120^\circ -1)}{2} = 0. \qquad \blacklozenge[/tex3]
- complex.png (20.28 KiB) Exibido 1440 vezes
[tex3]\overrightarrow{z_1z_3} =\overrightarrow{z_1z_2}\cis \frac{ \pi}{3} [/tex3]
[tex3]z_3 - z_1 =(z_2-z_1)\cis \frac{\pi}{3}[/tex3]
[tex3]z_3 - z_1 = z_2 \cis \frac{\pi}{3} - z_1\cis\frac{\pi}{3}[/tex3]
[tex3]z_3 - z_2 \cis \frac{\pi}{3} - z_1 + z_1 \cis \frac{\pi}{3} = 0[/tex3]
[tex3]z_3 - z_2 \cis \frac{\pi}{3} + z_1\(\cis \frac{\pi}{3} - 1\) = 0[/tex3]
[tex3]z_3 - z_2 \cis \frac{\pi}{3} + z_1\cis \frac{2\pi}{3} = 0[/tex3]
Podemos deixar tudo positivo e vai ficar mais bonitinho, só lembrar que [tex3]\cis \pi = - 1[/tex3]
[tex3]z_3 + z_2 \cis \frac{4\pi}{3} + z_1\cis \frac{2\pi}{3} = 0 [/tex3]
Chamando [tex3]w = \cis \frac{2\pi}{3} [/tex3]
[tex3]z_3 + z_1w + z_2 w^2 = 0[/tex3]
Perceba que essa é a condição para que 3 pontos no plano complexo formem um triângulo equilátero. A condição satisfaz tanto a ida quanto a volta.
Dizer que [tex3]\overrightarrow{z_1z_3} =\overrightarrow{z_1z_2}\cis \frac{ \pi}{3} [/tex3] significa dizer que [tex3]\overline{z_1z_3} = \overline{z_1z_2} [/tex3] , ou seja aquele triângulo é isósceles, e que o ângulo entre essas duas "retas" é [tex3]60^\circ[/tex3] .
Dito isso, vamos propriamente à questão.
- complex2.png (37.78 KiB) Exibido 1440 vezes
[tex3]M_1 =\frac{B + C}{2}[/tex3]
[tex3]M_2 = \frac{A+F}{2}[/tex3]
[tex3]M_3 = \frac{D+E}{2}[/tex3]
[tex3]F =r[/tex3]
[tex3]A = r\cis 60^\circ[/tex3]
[tex3]B =r\cis 120 ^\circ[/tex3]
[tex3]C = -r[/tex3]
[tex3]D = r\cis 240^\circ[/tex3]
[tex3]E = r\cis 300 ^\circ[/tex3]
Daí,
[tex3]M_1 = \frac{r(\cis 120^\circ - 1)}{2}[/tex3]
[tex3]M_2 =\frac{r(\cis 60^\circ + 1)}{2}[/tex3]
[tex3]M_3 = \frac{r(\cis 240^\circ + \cis 300^\circ)}{2}[/tex3]
Agora precisamos mostrar que [tex3]M_2+M_1w+M_3w^2 = 0[/tex3] é verdade, para satisfazer a condição de triângulo equilátero.
[tex3]\frac{r(\cis 60^\circ + 1)}{2}+ \frac{r(\cis 120^\circ - 1)}{2}w + \frac{r(\cis 240^\circ + \cis 300^\circ)}{2}w^2 [/tex3]
Substituindo [tex3]w = \cis \frac{2\pi}{3}[/tex3] , vem que a expressão acima é igual a
[tex3]\frac{r(\cis 60^\circ +1)}{2}+ \frac{r(\cis 240^\circ- \cis120^\circ)}{2}+ \frac{r(\cis 120^\circ -1)}{2}[/tex3] , e é fácil verificar que
[tex3]\frac{r(\cis 60^\circ +1)}{2}+ \frac{r(\cis 240^\circ- \cis120^\circ)}{2}+ \frac{r(\cis 120^\circ -1)}{2} = 0. \qquad \blacklozenge[/tex3]
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