IME / ITA ⇒ (Escola Naval 2019) Geometria plana Tópico resolvido

[Heisenberg1]

Dois amigos se encontram em dois portões de acesso, pontos A e B, de um ginásio com um muro circular de raio 12 metros, conforme figura ilustrativa abaixo.

0_d3337684cddeeb940a7585d3f1afc2f4_1708920.jpg.png (6.31 KiB) Exibido 3215 vezes

Aquele que se encontra no portão A caminha, na área externa ao muro, x metros, numa trajetória retilínea, até avistar o ponto B. Sabendo que o comprimento do arco AB é de [tex3]3\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3\pi [/tex3]

metros, o menor valor de x, em metros, vale:

A) [tex3]12\sqrt{2} +12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12\sqrt{2} +12[/tex3]

B) [tex3]12\sqrt{12} -12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12\sqrt{12} -12[/tex3]

C) [tex3]12\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12\sqrt{2}[/tex3]

D) [tex3]12\sqrt{2}-12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12\sqrt{2}-12[/tex3]

E) [tex3]12\sqrt{2}+12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12\sqrt{2}+12[/tex3]

Resposta

---

[tex3]12\sqrt{2}-12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12\sqrt{2}-12[/tex3]

[snooplammer]

Questão super fora de escala e além disso sem gabarito

en.png (63.88 KiB) Exibido 3171 vezes

[mcarvalho]

Questão super fora de escala

Nossa, com aquela escala do gráfico eu tinha interpretado de um jeito completamente diferente. Não sei se fui o único. A questão parecia sem pé nem cabeça. Valeu!

[pedrolopes]

Gente, fiz assim :

88f7a1e4-93c9-4b8a-90f9-f2376c3283fd.jpg (25.21 KiB) Exibido 3153 vezes

Sendo E o ponto em que é possível enxergar B, e consequentemente A, podem ser formadas duas retas tangentes EA e EB.
Descobrindo o ângulo AÔB por uma regra de três : [tex3]\frac{360}{\alpha }=\frac{2\pi 12}{3\pi }\therefore \alpha =45° [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{360}{\alpha }=\frac{2\pi 12}{3\pi }\therefore \alpha =45° [/tex3]

.
Pela lei dos cossenos no triângulo AOB, temos : [tex3]y^{2}=144+144-2.12.12.\frac{\sqrt{2}}{2}\therefore y^{2}=288-144\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^{2}=144+144-2.12.12.\frac{\sqrt{2}}{2}\therefore y^{2}=288-144\sqrt{2}[/tex3]

. Não tirei a raiz, pois não vai ser necessário pros próximos cálculos.
Sabendo que AEBO é um quadrilátero, vamos descobrir o ângulo AÊB : [tex3]45+90+90+\theta =360 \therefore \theta =135°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]45+90+90+\theta =360 \therefore \theta =135°[/tex3]

.
Pela lei dos cossenos no triângulo AEB : [tex3]y^{2}=x^{2}+x^{2}-2..x.x.\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^{2}=x^{2}+x^{2}-2..x.x.\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

, substituimos,[tex3]288-144\sqrt{2}=2x^{2}+x^{2}\sqrt{2}\rightarrow144(2-\sqrt{2})=x^{2}(2+\sqrt{2})\rightarrow x^{2}=\frac{144(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2)}}.\frac{(2-\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2}) }\rightarrow x=\frac{12(2-\sqrt{2})}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]288-144\sqrt{2}=2x^{2}+x^{2}\sqrt{2}\rightarrow144(2-\sqrt{2})=x^{2}(2+\sqrt{2})\rightarrow x^{2}=\frac{144(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2)}}.\frac{(2-\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2}) }\rightarrow x=\frac{12(2-\sqrt{2})}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex3]

[tex3]x=6\sqrt{2}(2-\sqrt{2}) \therefore x=12\sqrt{2}-12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=6\sqrt{2}(2-\sqrt{2}) \therefore x=12\sqrt{2}-12[/tex3]

[snooplammer]

pedrolopes, a menor distância será quando a trajetória retilínea em A é perpendicular à tangente em B

[pedrolopes]

Você tem razão, mano. Obrigado pela correção.

pedrolopes, a menor distância será quando a trajetória retilínea em A é perpendicular à tangente em B