Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)

[lucasmegna]

A mesma não tem resposta.

Encontre a solução geral da equação de Ricatti

[tex3]\frac{dx}{dy}+y^{2}=x^{2}-2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dx}{dy}+y^{2}=x^{2}-2x[/tex3]

sabendo-se que [tex3]y=1-x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=1-x[/tex3]

é solução particular.

[erihh3]

Vou fazer usando a solução padrão da eq de RIcatti. Poderia fazer avaliando apenas a solução homogênea nesse caso porque daria para resolver.

Usando eq de ricatti

Seja [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3]

Daí,

[tex3]y'=-1-\frac{1}{v^2}.v'[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y'=-1-\frac{1}{v^2}.v'[/tex3]

Substituindo na eq original, tem-se:

[tex3]\(-1-\frac{1}{v^2}.v' \)+\(1-x+\frac{1}{v}\)^2=x^2-2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(-1-\frac{1}{v^2}.v' \)+\(1-x+\frac{1}{v}\)^2=x^2-2x[/tex3]

[tex3]-1-\frac{1}{v^2}.v' +x^2-2x+1+\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=x^2-2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-1-\frac{1}{v^2}.v' +x^2-2x+1+\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=x^2-2x[/tex3]

[tex3]-\frac{1}{v^2}.v' +\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{1}{v^2}.v' +\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=0[/tex3]

Multiplicando por [tex3]v^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v^2[/tex3]

[tex3]-v' +2v-2xv+1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-v' +2v-2xv+1=0[/tex3]

[tex3]v' -2(1-x)v=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v' -2(1-x)v=1[/tex3]

O fator integrante é [tex3]u(x)=-2x+x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u(x)=-2x+x^2[/tex3]

. Daí,

[(2x-x^2).v]'=-2x+x^2

Integrando

[tex3]
(2x-x^2).v=-x^2+\frac{x^3}{3}+C; \quad x\in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
(2x-x^2).v=-x^2+\frac{x^3}{3}+C; \quad x\in \mathbb{R}[/tex3]

[tex3]v=\frac{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}{2x-x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v=\frac{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}{2x-x^2}[/tex3]

Sabemos que [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3]

. Deste modo, a solução da EDO do enunciado será:

[tex3]y= 1-x+\frac{2x-x^2}{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y= 1-x+\frac{2x-x^2}{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}[/tex3]

[lucasmegna]

Obrigado agora vi aonde estava errando.