[tex3](x+1)^{3}[/tex3]
Tive dúvidas a calcular essa derivada usando a definição de limites, alguém poderia me esclarecer?
Ensino Superior ⇒ Derivada Usando Definição de Limite Tópico resolvido
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Dez 2018
08
04:35
Re: Derivada Usando Definição de Limite
thetruth, oii!! Td bem cntigo?? Antes de partirmos para resolução, sugiro vc fazer numa folha de rascunho o seguinte produto notável: (a + b + c)^3 = [tex3]a^3\:+\:b^3\:+\:x^3\:+\:6abc\:+\:3\cdot (ac^2\:+\:bc^2\:+\:a^2c\:+\:a^2b\:+\:ab^2)[/tex3]
, será de bastante utilidade. Além desse, é importante saber o produtor (a + b)^3 = [tex3]a^3\:+\:3a^2b\:+\:3ab^2+b^3[/tex3]
. Agora que está munida, vamos à batalha haha:
Sabe-se que a definição de derivada por limite é dada por: [tex3]f'(x)\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{f(x\:+\:\Delta x)\:-\:f(x)}{\Delta x}[/tex3] . Assim, jogando a função que vc pediu no post:
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{(x\:+\:\Delta x\:+\:1)^3\:-\:(x\:+\:1)^3}{\Delta x}[/tex3] . Valendo-se dos produtos desenvolvidos inicialmente:
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{[x^3\:+\:\Delta x^3\:+\:1\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot(x\:+\:\Delta x\:+\:x^2\:+\:x\cdot \Delta x^2\:+\:x^2\cdot \Delta x)]\:-\:(x^3\:+\:3\cdot x^2\:+\:3\cdot x\:+\:1)}{\Delta x}[/tex3] . Operacionando, somando, subtraindo, etc, obtem-se:
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{\Delta x^3\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot \Delta x \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2)}{\Delta x}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\Delta x^2\:+\:6\cdot x \:+\:3 \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2) [/tex3] . Agora, basta aplicar o limite
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:6\cdot x \:+\:3\cdot (1\:+\:x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\therefore\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:3x^2\:+\:6x\:+\:3[/tex3]
Espero ter ajudado Lanço pra ti agora um desafio kkkk Suponha que haja 2 funções: [tex3]f(x)\:\:e\:\:g(x)[/tex3] ; mas [tex3]f(x)\:=\:\[ g(x) \]^n[/tex3] . Demonstre, utilizando a definição de derivada por limite, que [tex3]f'(x)\:=\:n\cdot \[g(x)\]^{n-1}\:\:\cdot g'(x)[/tex3] . É um bom exercício para ajudar a fixar, e exige um pouco de domínio de séries (não que precise ter estudado já o que chama de cálculo 3, dependendo do autor; eu mesmo ainda não estudei). Se precisar de ajudar, ou sentir curiosidade, cria um tópico aqui no fórum dps
Sabe-se que a definição de derivada por limite é dada por: [tex3]f'(x)\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{f(x\:+\:\Delta x)\:-\:f(x)}{\Delta x}[/tex3] . Assim, jogando a função que vc pediu no post:
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{(x\:+\:\Delta x\:+\:1)^3\:-\:(x\:+\:1)^3}{\Delta x}[/tex3] . Valendo-se dos produtos desenvolvidos inicialmente:
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{[x^3\:+\:\Delta x^3\:+\:1\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot(x\:+\:\Delta x\:+\:x^2\:+\:x\cdot \Delta x^2\:+\:x^2\cdot \Delta x)]\:-\:(x^3\:+\:3\cdot x^2\:+\:3\cdot x\:+\:1)}{\Delta x}[/tex3] . Operacionando, somando, subtraindo, etc, obtem-se:
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{\Delta x^3\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot \Delta x \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2)}{\Delta x}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\Delta x^2\:+\:6\cdot x \:+\:3 \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2) [/tex3] . Agora, basta aplicar o limite
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:6\cdot x \:+\:3\cdot (1\:+\:x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\therefore\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:3x^2\:+\:6x\:+\:3[/tex3]
Espero ter ajudado Lanço pra ti agora um desafio kkkk Suponha que haja 2 funções: [tex3]f(x)\:\:e\:\:g(x)[/tex3] ; mas [tex3]f(x)\:=\:\[ g(x) \]^n[/tex3] . Demonstre, utilizando a definição de derivada por limite, que [tex3]f'(x)\:=\:n\cdot \[g(x)\]^{n-1}\:\:\cdot g'(x)[/tex3] . É um bom exercício para ajudar a fixar, e exige um pouco de domínio de séries (não que precise ter estudado já o que chama de cálculo 3, dependendo do autor; eu mesmo ainda não estudei). Se precisar de ajudar, ou sentir curiosidade, cria um tópico aqui no fórum dps
Editado pela última vez por AlguémMeHelp em 08 Dez 2018, 04:50, em um total de 1 vez.
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Dez 2018
08
13:45
Re: Derivada Usando Definição de Limite
confesso que essa eu passei meio longe de resolver, muito obrigado por mostrar a resolução.AlguémMeHelp escreveu: ↑08 Dez 2018, 04:35 thetruth, oii!! Td bem cntigo?? Antes de partirmos para resolução, sugiro vc fazer numa folha de rascunho o seguinte produto notável: (a + b + c)^3 = [tex3]a^3\:+\:b^3\:+\:x^3\:+\:6abc\:+\:3\cdot (ac^2\:+\:bc^2\:+\:a^2c\:+\:a^2b\:+\:ab^2)[/tex3] , será de bastante utilidade. Além desse, é importante saber o produtor (a + b)^3 = [tex3]a^3\:+\:3a^2b\:+\:3ab^2+b^3[/tex3] . Agora que está munida, vamos à batalha haha:
Sabe-se que a definição de derivada por limite é dada por: [tex3]f'(x)\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{f(x\:+\:\Delta x)\:-\:f(x)}{\Delta x}[/tex3] . Assim, jogando a função que vc pediu no post:
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{(x\:+\:\Delta x\:+\:1)^3\:-\:(x\:+\:1)^3}{\Delta x}[/tex3] . Valendo-se dos produtos desenvolvidos inicialmente:
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{[x^3\:+\:\Delta x^3\:+\:1\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot(x\:+\:\Delta x\:+\:x^2\:+\:x\cdot \Delta x^2\:+\:x^2\cdot \Delta x)]\:-\:(x^3\:+\:3\cdot x^2\:+\:3\cdot x\:+\:1)}{\Delta x}[/tex3] . Operacionando, somando, subtraindo, etc, obtem-se:
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{\Delta x^3\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot \Delta x \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2)}{\Delta x}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\Delta x^2\:+\:6\cdot x \:+\:3 \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2) [/tex3] . Agora, basta aplicar o limite
[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:6\cdot x \:+\:3\cdot (1\:+\:x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\therefore\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:3x^2\:+\:6x\:+\:3[/tex3]
Espero ter ajudado Lanço pra ti agora um desafio kkkk Suponha que haja 2 funções: [tex3]f(x)\:\:e\:\:g(x)[/tex3] ; mas [tex3]f(x)\:=\:\[ g(x) \]^n[/tex3] . Demonstre, utilizando a definição de derivada por limite, que [tex3]f'(x)\:=\:n\cdot \[g(x)\]^{n-1}\:\:\cdot g'(x)[/tex3] . É um bom exercício para ajudar a fixar, e exige um pouco de domínio de séries (não que precise ter estudado já o que chama de cálculo 3, dependendo do autor; eu mesmo ainda não estudei). Se precisar de ajudar, ou sentir curiosidade, cria um tópico aqui no fórum dps
ajudou muito nos meus estudos
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