Olimpíadas ⇒ Soma de Quadrados de Números Naturais

[boruto47]

problema da obm terceira fase

Prove que existe um número que pode ser representado de pelo menos 2015 maneiras diferentes como soma
de quadrados de números naturais não nulos, não necessariamente todos distintos. Considera-se que duas
somas que alteram apenas a ordem das parcelas constituem uma mesma representação.
Por exemplo, 1^2 + 1^2 + 3^2+ 3^2+ 7^2
+ 10^2
e 5^2
+ 122^2
são duas maneiras distintas de escrevermos 169
como soma de quadrados.

[LucasOBM]

Observe que 3²+4²=5². Assim, podemos somar 5² em ambos os lados diversas vezes e substituirmos por 3²+4², ou seja, 3²+4²+5²=3²+4²+3²+4²
3²+4²+5²+5²=3²+4²+3²+4²+5²=3²+4²+3²+4²+3²+4², assim por diante.
Portanto, podemos considerar o número 5².4000 e, ao escrevermos esse número como soma de parcelas 5², nós podemos trocar por 3²+4², obtendo pelo menos 2015 maneiras de representar esse número como soma de quadrados perfeitos.