[tex3]\begin{cases}
x+y+az=1 \\
x+ay+z=a \\
ax+y+z=a^{2}
\end{cases}[/tex3]
Resposta
Resposta: Se [tex3]a=1[/tex3] indeterminado; se [tex3]a=-2[/tex3] é incompatível; se [tex3]a\neq 1[/tex3] e [tex3]a\neq -2[/tex3] é compatível e determinado.
Ensino Superior ⇒ Discussão sistema linear Tópico resolvido
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ALANSILVA
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Mar 2018
05
15:32
Discussão sistema linear
Discutir o sistema linear abaixo para os valores de [tex3]a[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+y+az=1 \\
x+ay+z=a \\
ax+y+z=a^{2}
\end{cases}[/tex3]
Resposta: Se [tex3]a=1[/tex3] indeterminado; se [tex3]a=-2[/tex3] é incompatível; se [tex3]a\neq 1[/tex3] e [tex3]a\neq -2[/tex3] é compatível e determinado.
[tex3]\begin{cases}
x+y+az=1 \\
x+ay+z=a \\
ax+y+z=a^{2}
\end{cases}[/tex3]
Resposta: Se [tex3]a=1[/tex3] indeterminado; se [tex3]a=-2[/tex3] é incompatível; se [tex3]a\neq 1[/tex3] e [tex3]a\neq -2[/tex3] é compatível e determinado.
No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)
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lorramrj
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Mar 2018
08
10:22
Re: Discussão sistema linear
[tex3]D =\left| \begin{array}{rcr}
1 & 1 & a \\
1 & a & 1\\
a & 1 & 1
\end{array} \right| = -a^3+3a-2[/tex3]
Para o sistema ser possível e indeterminado ou impossível: [tex3]\boxed{D=0}[/tex3]
Para o sistema ser possível e determinado [tex3]\boxed{D \neq 0}[/tex3]
Logo:
[tex3]-a^3+3a-2=0[/tex3]
Para [tex3]a=1[/tex3] claramente é uma solução da equação.
Ficamos com [tex3](a-1)(-a^2-a+2)=0[/tex3] . Logo [tex3]a=1[/tex3] (raíz dupla) e [tex3]a=-2[/tex3] são soluções.
Portanto:
Para [tex3]\boxed {a\neq 1} \space \wedge \space \boxed{a\neq2}[/tex3] o sistema é possível e determinado ([tex3]D\neq0[/tex3] )
Para [tex3]\boxed {a=1} \space \vee \space \boxed{a=2}[/tex3] o sistema é impossível ou possível e indeterminado ([tex3]D=0[/tex3] )
Para determinar na verdade o que são, testamos no sistema:
Repare que para [tex3]a=1[/tex3] , ficaremos com 3 equações idênticas. Portanto, na verdade, teremos 1 equação e 3 variáveis. Logo o sistema é possível e indeterminado.
Para [tex3]a=-2[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+y-2z=1 \\
x+-2y+z=-2 \\
-2x+y+z=4
\end{cases}[/tex3]
Escalonando:
[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2 &| 1 \\
1 & -2 & 1 & | -2\\
-2 & 1 & 1 & | 4
\end{array} \right]
[/tex3]
L2' = L2 - L1
L3' = L3 + 2L1
Ficamos com:
[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2 &| 1 \\
0 & -3 & 3 & | -3\\
0 & 3 & -3 & | 6
\end{array} \right]
[/tex3]
L3' = L3 + L2
Ficamos com:
[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2 &| 1 \\
0 & -3 & -1 & | -3\\
0 & 0 & 0 & | 3
\end{array} \right]
[/tex3]
Logo, temos na última linha:
0.z = 3 (Impossível!)
1 & 1 & a \\
1 & a & 1\\
a & 1 & 1
\end{array} \right| = -a^3+3a-2[/tex3]
Para o sistema ser possível e indeterminado ou impossível: [tex3]\boxed{D=0}[/tex3]
Para o sistema ser possível e determinado [tex3]\boxed{D \neq 0}[/tex3]
Logo:
[tex3]-a^3+3a-2=0[/tex3]
Para [tex3]a=1[/tex3] claramente é uma solução da equação.
Ficamos com [tex3](a-1)(-a^2-a+2)=0[/tex3] . Logo [tex3]a=1[/tex3] (raíz dupla) e [tex3]a=-2[/tex3] são soluções.
Portanto:
Para [tex3]\boxed {a\neq 1} \space \wedge \space \boxed{a\neq2}[/tex3] o sistema é possível e determinado ([tex3]D\neq0[/tex3] )
Para [tex3]\boxed {a=1} \space \vee \space \boxed{a=2}[/tex3] o sistema é impossível ou possível e indeterminado ([tex3]D=0[/tex3] )
Para determinar na verdade o que são, testamos no sistema:
Repare que para [tex3]a=1[/tex3] , ficaremos com 3 equações idênticas. Portanto, na verdade, teremos 1 equação e 3 variáveis. Logo o sistema é possível e indeterminado.
Para [tex3]a=-2[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+y-2z=1 \\
x+-2y+z=-2 \\
-2x+y+z=4
\end{cases}[/tex3]
Escalonando:
[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2 &| 1 \\
1 & -2 & 1 & | -2\\
-2 & 1 & 1 & | 4
\end{array} \right]
[/tex3]
L2' = L2 - L1
L3' = L3 + 2L1
Ficamos com:
[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2 &| 1 \\
0 & -3 & 3 & | -3\\
0 & 3 & -3 & | 6
\end{array} \right]
[/tex3]
L3' = L3 + L2
Ficamos com:
[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2 &| 1 \\
0 & -3 & -1 & | -3\\
0 & 0 & 0 & | 3
\end{array} \right]
[/tex3]
Logo, temos na última linha:
0.z = 3 (Impossível!)
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
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