Olá pessoal. Estou com uma dúvida sobre este exercício de retas que encontrei no livro de Cálculo do professor George B. Thomas.O exercício é assim:
"Neste exercício se investiga como encontrar a distância de um ponto P(a,b) a uma reta L: Ax + By = C. Sugerimos que se trabalhe em grupos de dois ou três.
(a) Escreva uma equação para a reta M passando por P perpendicularmente a L. "
Pois bem, eu consegui chegar a resolução da letra a da seguinte maneira:
Considerando L: y = [tex3]\frac{-Ax}{B} + \frac{C}{B}[/tex3]
Pela condição da perpendicularidade, o coeficiente angular de M deve ser m=[tex3]\frac{B}{A}[/tex3]
, e também considerando que (x1,y1) = (a,b).
Assim sendo, e considerando a equação y-y1 = m(x-x1), a equação atende os requisitos quando:
M: y = [tex3]\frac{B}{A}[/tex3]
(x-a) + b
Verifiquei no livro de respostas e está correto.
Tive dificuldades na letra b. É assim descrita:
"(b) Determine as coordenadas do ponto Q em que M e L se cruzam."
A primeira dúvida é como determinar Q(x,y).
Pensei da seguinte maneira: estipular que Q(x,y) seria o ponto final para M e L, já que consigo estabelecer os pontos iniciais de ambas as retas.
Para a reta L, o ponto inicial fica no eixo das ordenadas, em que: (x1,y1) = (0,[tex3]\frac{C}{B}[/tex3]
).
Assim como o ponto inicial de M: (x1,y1) = (a,b).
Considerando o mesmo coeficiente angular para a condição de perpendicularidade, entendo que Q terá o mesmo ponto para X e para Y final para ambas as retas. Então, se eu igualo as equações e determino uma relação algébrica entre as duas equações para que elas tenham o mesmo valor de Y.
Ficam assim descritas:
[tex3]\frac{B}{A}[/tex3]
x - [tex3]\frac{B}{A}[/tex3]
a + b = [tex3]\frac{-A}{B}[/tex3]
x + [tex3]\frac{C}{B}[/tex3]
Junto tudo o que tem denominador em comum. Ficaria:
[tex3]\frac{Bx-Ba}{A}+b = \frac{-Ax+C}{B}[/tex3]
Cruzando, fica:
B²x - B²a + Bb = -A²x + AC
Isolando x:
b²a + Bb - AC = -A²x - B²x
Desenvolvendo:
[tex3]\frac{B²a+ AC - Bb }{A² + B²}[/tex3]
Galera, eu enrosquei aqui. A resposta do livro diz que:
[tex3]\frac{B²a + AC - ABb}{A² +B²}[/tex3]
A diferença da minha resposta para a resposta do livro(valor de x no ponto Q) é que tem um A que multiplica Bb. É evidente que é um erro que estou cometendo ao desenvolver a equação algébrica. Eu agradeceria muito se pudessem desenvolver a equação até a resolução correta para eu ver no que estou errando. Desde já agradeço muito!
Ensino Médio ⇒ Exercício sobre retas. Parcialmente resolvido! Tópico resolvido
- diegobel
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Jul 2017
29
11:58
Exercício sobre retas. Parcialmente resolvido!
Editado pela última vez por diegobel em 29 Jul 2017, 13:59, em um total de 1 vez.
- undefinied3
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Jul 2017
29
12:29
Re: Exercício sobre retas. Parcialmente resolvido!
Repare que em [tex3]\frac{Bx-Ba}{A}+b=\frac{-Ax+C}{B}[/tex3]
[tex3]\frac{Bx-Ba+Ab}{A}=\frac{-Ax+C}{B}[/tex3]
Agora é só continuar com o que você fez.
Pra evitar esse erro, note que "multiplicar cruzado" é apenas multiplicar os dois lados da expressão por [tex3]AB[/tex3] a fim de cortar os denominadores. Multiplicando por AB já fica claro que irá aparecer [tex3]ABb[/tex3]
, você até pode "multiplicar cruzado" se colocar toda expressão do lado esquerdo no mesmo denominador; no caso, aquele fator [tex3]+b[/tex3]
não está no denominador A, então devemos colocá-lo:[tex3]\frac{Bx-Ba+Ab}{A}=\frac{-Ax+C}{B}[/tex3]
Agora é só continuar com o que você fez.
Pra evitar esse erro, note que "multiplicar cruzado" é apenas multiplicar os dois lados da expressão por [tex3]AB[/tex3] a fim de cortar os denominadores. Multiplicando por AB já fica claro que irá aparecer [tex3]ABb[/tex3]
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
- diegobel
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Jul 2017
29
12:47
Re: Exercício sobre retas. Parcialmente resolvido!
Olá undefinied3. Consegui desenvolver e achei o valor do Y do ponto Q também e condiz com a resposta do livro. Muito obrigado undefinied3, você me ajudou muito.
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