Ensino Superior

Como saber se as derivadas parciais são contínuas em um ponto?

Sei que se é diferenciável, então a função é contínua, mas o contrário não é verdade, né? Então, como vou saber se é contínua ou não?

Por exemplo:

Seja a função:

[tex3]f(x,y)=\frac{x^4}{x^2+y^2} , se (x,y)\neq (0,0)[/tex3]

[tex3]f(x,y)= (0,0) ,se (x,y)=(0,0)[/tex3]

As derivadas parciais [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)[/tex3] e [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)[/tex3] são contínuas em (0,0)?

lerax · Mensagem não lida por **lerax** » 06 Abr 2017, 10:57

Interessante pergunta. Não sei se essa abordagem que escrevi é restritamente correta, mas talvez possa te dar alguma direção.

Como a derivada parcial também resulta em uma função, você pode utilizar o teorema da continuidade por limites e tratar a derivada parcial de tal função como uma função também. Sendo que o teorema referido pode ser resumido, grosseiramente, em:

Para uma função [tex3]f(x)[/tex3] ser contínua em um ponto [tex3]a[/tex3] , deve ser verdade então que:

1. A função [tex3]f(x)[/tex3] deve estar definida em [tex3]a[/tex3]
2. [tex3]\lim_{x \to a} f(x)[/tex3] deve existir.
3. [tex3]\lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/tex3] deve ser verdade.

Este teorema é comum ser usado em funções de uma única variável, mas por essa definição, nada impede diretamente que seja usada para funções de várias variáveis também, já que limites para funções de várias varíaveis também é definido.

No seu exemplo, avaliando brevemente, é possível perceber que a função [tex3]f[/tex3] , embora ela esteja definida para [tex3]f(0,0)[/tex3] , poderia não ser contínua em [tex3](0,0)[/tex3] caso [tex3]\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \nexists[/tex3] . E se existir, deveria obrigatoriamente ser igual a [tex3]f(0,0) =
0[/tex3] . Estou um tanto sem tempo pra demonstrar o limite da função dada, mas supondo, por intuição, que esse limite [tex3]\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)[/tex3] não exista, logo, sua derivada parcial nesse ponto também não é contínua[1]. Em outras palavras, se a função é contínua e diferenciável em dado intervalo, as suas derivadas também são contínuas.

[1] pelo que lembro as descontinuidades de funções são herdadas em suas derivadas, exemplo [tex3]f(x) = ln(x); f'(x) = 1/x[/tex3] , ambas descontínuas em 0.

E, como outra alternativa para outros problemas, você pode derivar parcialmente [tex3]f[/tex3] e checar a continuidade de cada uma delas pelo teste de continuidade por limites que comecei descrevendo nesse post.

Será que isso ajuda você? Perdão pelo longo post.

entendi! Obrigada!

lerax · Mensagem não lida por **lerax** » 28 Abr 2017, 14:44

Sei que pode ser um pouco tarde pra ainda comentar sobre esse tópico e talvez você já tenha encontrado mais informações para este problema. Mas acabei descobrindo recentemente numa aula de Cálculo Vetorial que existe um teorema muito útil pra descobrir se as primeiras derivadas parciais são contínuas. É conhecido como Teorema de Schwartz, que diz se as derivadas parciais de uma função escalar [tex3]f(x,y)[/tex3] são contínuas, então vale a relação:

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\, \partial x}[/tex3]

https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... ut-Schwarz

Nunca é tarde para aprender mais! haha

Obrigada!!

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