Ensino Superior ⇒ Integral dupla - volume

[shaka]

Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste a oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.

[jedi]

estabelecendo o sentido leste oeste sobre o eixo x e norte sul sobre o eixo x, sendo o centro das bordas da piscina no ponto (0,0,2)

temos que z representa o fundo da piscina, portanto

[tex3]z=\frac{1}{2}+\frac{y}{10}[/tex3]

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[tex3]z=\frac{1}{2}+\frac{y}{10}[/tex3]

portanto quando y=-5 , z=0 e sendo então a profundidade 2-0=2
e quando y=5, z=1 sendo a profundidade 2-1=1

calculando o volume abaixo da piscina

[tex3]x=r.cos(\theta)[/tex3]

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[tex3]x=r.cos(\theta)[/tex3]

[tex3]y=r.sen(\theta)[/tex3]

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[tex3]y=r.sen(\theta)[/tex3]

[tex3]\oint z.r.d\theta.dr[/tex3]

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[tex3]\oint z.r.d\theta.dr[/tex3]

[tex3]\int_{0}^{5}\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}+\frac{r.sen(\theta)}{10}\right).r.d\theta.dr[/tex3]

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[tex3]\int_{0}^{5}\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}+\frac{r.sen(\theta)}{10}\right).r.d\theta.dr[/tex3]

[tex3]\int_{0}^{5}\pi.r.dr[/tex3]

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[tex3]\int_{0}^{5}\pi.r.dr[/tex3]

[tex3]=\frac{25\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]=\frac{25\pi}{2}[/tex3]

o volume do cilindro inteiro que representa a piscina será [tex3]2.\pi.25[/tex3]

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[tex3]2.\pi.25[/tex3]

descontando o volume abaixo do fundo da piscina

[tex3]=2.\pi.25-\frac{25\pi}{2}=\frac{75\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]=2.\pi.25-\frac{25\pi}{2}=\frac{75\pi}{2}[/tex3]