Numa pirâmide triangular regular a aresta da base mede 6cm e a da lateral 8cm. Então o apótema da pirâmide e o da sua base
valem, em cm, respectivamente:
A) [tex3]\sqrt{55} e \sqrt{3}[/tex3]
B) [tex3]\sqrt{3} e 3\sqrt{5}[/tex3]
C) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]e[/tex3]
[tex3]3\sqrt{3}[/tex3]
D) [tex3]\sqrt{55}[/tex3]
[tex3]e[/tex3]
[tex3]\sqrt{55}[/tex3]
Minha dúvida é se essas alternativas estão corretas. Fiz meu cálculo e achei o apótema da pirâmide([tex3]a=\frac{L\sqrt{3}}{6}\rightarrow a=\frac{2*3\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}[/tex3]
) e não estou conseguindo encontrar o apótema da base. Alguém enxerga algo diferente??
IME / ITA ⇒ (AFA - 1997) Geometria Espacial
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23:08
(AFA - 1997) Geometria Espacial
Editado pela última vez por futuromilitar em 20 Mai 2016, 23:08, em um total de 2 vezes.
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Out 2017
13
13:13
Re: (AFA - 1997) Geometria Espacial
Pirâmide regular [tex3]\longrightarrow[/tex3]
No caso de uma uma pirâmide regular triangular, a base é um triângulo equilátero.
Eu ainda estou aprendendo a usar o Geogebra... kkkk.
Observe o esquema da pirâmide :
As arestas são [tex3]\longrightarrow[/tex3]
[tex3]AB \ = \ BC \ = \ AC \ = 6 \ cm;[/tex3]
[tex3]AD \ = \ BD \ = \ CD \ = \ 8 \ cm.[/tex3]
Observe a base [tex3]ABC[/tex3] . O ponto [tex3]F[/tex3] é, ao mesmo tempo, o baricentro, o circuncentro, o incentro e o ortocentro.
O que nos interessa é que o ponto [tex3]F[/tex3] corta a altura do [tex3]\Delta ABC[/tex3] em [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] e [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] .
Sendo [tex3]E[/tex3] o ponto médio de [tex3]AB[/tex3] , [tex3]EF[/tex3] é o apótema da base.
Ou seja, [tex3]EF[/tex3] é um terço da altura da pirâmide.
[tex3]EF \ = \ \frac{1}{3} \ \cdot \ \frac{l \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ \rightarrow \ l \ = \ 6 \ cm :[/tex3]
[tex3]EF \ = \ \frac{\cancel{6} \ \cdot \ \sqrt{3}}{\cancel{6}} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{EF \ = \ \sqrt{3} \ cm}} \ \rightarrow[/tex3] Apótema da base [tex3]\Delta ABC \ ![/tex3]
Observe agora o esquema destacado da face lateral :
Veja que, se [tex3]AB \ = \ 6 \ cm[/tex3] e [tex3]BC \ = \ CD \ = \ 8 \ cm[/tex3] , as faces são [tex3]\Delta 's[/tex3] isósceles.
Além disso, [tex3]E[/tex3] é ponto médio de [tex3]AB[/tex3] ([tex3]AE \ = \ EB \ = \ 3 \ cm[/tex3] .)
O apótema da pirâmide é a altura lateral. Sendo as faces laterais isósceles, a altura relativa à base finca-se no ponto médio da mesma. Ou seja, [tex3]DE[/tex3] é a altura e é o apótema da pirâmide.
PItágoras em [tex3]ADE \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]AD^2 \ = \ AE^2 \ + \ DE^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]8^2 \ = \ 3^2 \ + \ DE^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]64 \ = \ 9 \ + \ DE^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]DE^2 \ = \ 64 \ - \ 9 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]DE^2 \ = \ 55 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{DE \ = \ \sqrt{55} \ cm}} \ \rightarrow[/tex3] Apótema da pirâmide ! (altura lateral.)
Base regularNo caso de uma uma pirâmide regular triangular, a base é um triângulo equilátero.
Eu ainda estou aprendendo a usar o Geogebra... kkkk.
Observe o esquema da pirâmide :
As arestas são [tex3]\longrightarrow[/tex3]
[tex3]AB \ = \ BC \ = \ AC \ = 6 \ cm;[/tex3]
[tex3]AD \ = \ BD \ = \ CD \ = \ 8 \ cm.[/tex3]
Observe a base [tex3]ABC[/tex3] . O ponto [tex3]F[/tex3] é, ao mesmo tempo, o baricentro, o circuncentro, o incentro e o ortocentro.
O que nos interessa é que o ponto [tex3]F[/tex3] corta a altura do [tex3]\Delta ABC[/tex3] em [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] e [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] .
Sendo [tex3]E[/tex3] o ponto médio de [tex3]AB[/tex3] , [tex3]EF[/tex3] é o apótema da base.
Ou seja, [tex3]EF[/tex3] é um terço da altura da pirâmide.
[tex3]EF \ = \ \frac{1}{3} \ \cdot \ \frac{l \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ \rightarrow \ l \ = \ 6 \ cm :[/tex3]
[tex3]EF \ = \ \frac{\cancel{6} \ \cdot \ \sqrt{3}}{\cancel{6}} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{EF \ = \ \sqrt{3} \ cm}} \ \rightarrow[/tex3] Apótema da base [tex3]\Delta ABC \ ![/tex3]
Observe agora o esquema destacado da face lateral :
Veja que, se [tex3]AB \ = \ 6 \ cm[/tex3] e [tex3]BC \ = \ CD \ = \ 8 \ cm[/tex3] , as faces são [tex3]\Delta 's[/tex3] isósceles.
Além disso, [tex3]E[/tex3] é ponto médio de [tex3]AB[/tex3] ([tex3]AE \ = \ EB \ = \ 3 \ cm[/tex3] .)
O apótema da pirâmide é a altura lateral. Sendo as faces laterais isósceles, a altura relativa à base finca-se no ponto médio da mesma. Ou seja, [tex3]DE[/tex3] é a altura e é o apótema da pirâmide.
PItágoras em [tex3]ADE \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]AD^2 \ = \ AE^2 \ + \ DE^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]8^2 \ = \ 3^2 \ + \ DE^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]64 \ = \ 9 \ + \ DE^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]DE^2 \ = \ 64 \ - \ 9 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]DE^2 \ = \ 55 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{DE \ = \ \sqrt{55} \ cm}} \ \rightarrow[/tex3] Apótema da pirâmide ! (altura lateral.)
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Out 2017
13
13:51
Re: (AFA - 1997) Geometria Espacial
joaopcarv, Perfeita sua resolução. Essa noção dos pontos notáveis no triângulo equilátero não lembrava,valeu
-Você marcha, José!
José, para onde? [Carlos Drummond de Andrade]
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Out 2017
13
14:30
Re: (AFA - 1997) Geometria Espacial
Olá, Lucabral. Obrigado pelo elogio!
O triângulo retângulo e o isósceles são mais "manjados" rsrs porque seus pontos notáveis concidem (só há um no isósceles que eu não coincide, acho que é o circuncentro).
Obrigado pelo elogio
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