IME / ITA ⇒ (IME) Funções Tópico resolvido

[brunoafa]

Seja uma função f: [tex3]\mathbb{R}-{0}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{R}-{0}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

onde [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

representa o conjunto dos números reais, tal que f [tex3]\left(\frac{a}{b}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{a}{b}\right)[/tex3]

=[tex3]f(a)-f(b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(a)-f(b)[/tex3]

para a e b pertencentes ao domínio de f. Demonstre que f é uma função par.

[candre]

sendo que [tex3]f\left(\frac{a}{b}\right)=f(a)-f(b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\left(\frac{a}{b}\right)=f(a)-f(b)[/tex3]

(sendo [tex3]x\ne0,y\ne0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\ne0,y\ne0[/tex3]

)
tomando [tex3](a,b)=(x,y)\Rightarrow f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a,b)=(x,y)\Rightarrow f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)[/tex3]

tomando [tex3](a,b)=(-x,-y)\Rightarrow f\left(\frac{x}{y}\right)=f(-x)-f(-y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a,b)=(-x,-y)\Rightarrow f\left(\frac{x}{y}\right)=f(-x)-f(-y)[/tex3]

tomando [tex3](a,b)=(-x,y)\Rightarrow f\left(-\frac{x}{y}\right)=f(-x)-f(y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a,b)=(-x,y)\Rightarrow f\left(-\frac{x}{y}\right)=f(-x)-f(y)[/tex3]

tomando [tex3](a,b)=(x,-y)\Rightarrow f\left(-\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(-y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a,b)=(x,-y)\Rightarrow f\left(-\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(-y)[/tex3]

obtemos que
[tex3]f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)=f(-x)-f(-y)\\
f\left(-\frac{x}{y}\right)=f(-x)-f(y)=f(x)-f(-y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)=f(-x)-f(-y)\\
f\left(-\frac{x}{y}\right)=f(-x)-f(y)=f(x)-f(-y)[/tex3]

fazendo [tex3]x=y\Rightarrow f(1)=f(x)-f(x)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=y\Rightarrow f(1)=f(x)-f(x)=0[/tex3]

sendo que
[tex3]f(-1)=f\left(\frac{-x}{x}\right)=f(-x)-f(x)\\
f(-1)=f\left(\frac{x}{-x}\right)=f(x)-f(-x)\\
2f(-1)=0\\
f(-1)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(-1)=f\left(\frac{-x}{x}\right)=f(-x)-f(x)\\
f(-1)=f\left(\frac{x}{-x}\right)=f(x)-f(-x)\\
2f(-1)=0\\
f(-1)=0[/tex3]

com isso obtemos
[tex3]f(-x)=f\left(\frac{x}{-1}\right)=f(x)-f(-1)=f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(-x)=f\left(\frac{x}{-1}\right)=f(x)-f(-1)=f(x)[/tex3]