Ensino Médio

Seja um triângulo ABC e AD a mediana relativa ao lado BC. Se m(ABC) = x e m(BAD) = m(ACB) = 2x, encontre x:

Resposta

15º

dica o tamanho da mediana partindo do vértice [tex3]A[/tex3] vale

[tex3]m_a^2 = \frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}[/tex3]

Eu confundi, desculpa eu pensei que os ângulos que você deu ai fossem tamanhos de medianas

essa questao eh de trigonometria

Por trigonometria dá pra fazer, temos dois triângulos semelhantes: [tex3]\Delta ABD[/tex3] e [tex3]\Delta CBA[/tex3]

[tex3]\frac{c}{a} = \frac{\frac{a}2}{c} \rightarrow a^2 = 2c^2 \rightarrow a = c\sqrt 2[/tex3]

aplicando a lei dos senos no triângulo [tex3]ABD[/tex3]

[tex3]\frac{c}{\sin(3x)} = \frac{\frac{a}2}{\sin(2x)}[/tex3]
[tex3]2c\sin(2x) = a\sin(3x)[/tex3]
[tex3]2\sin(2x) = \sqrt 2 \sin(3x)[/tex3]
abrindo tudo com arco duplo e triplo
[tex3]4\sin(x)\cos(x) = \sqrt{2} \sin(x)(3-4\sin^2(x))[/tex3]
[tex3]2\sqrt2\cos(x) = 3- 4(1-cos^2(x))[/tex3]
[tex3]2\sqrt2\cos(x) = 4\cos^2(x) -1[/tex3]
[tex3]8\cos(x) = 2\sqrt2 \pm \sqrt{8 +16}[/tex3]
[tex3]8\cos(x) = 2\sqrt2 \pm 2\sqrt6[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{\sqrt2 \pm \sqrt6}4[/tex3]
o cosseno negativo não interessa pois x deve ser agudo
[tex3]\cos(x) = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}4[/tex3]
[tex3]x[/tex3] é 15 graus.

Deve dar pra fazer por geometria plana.

vlw. Se tbm souber por geometria , melhor ainda

Olá Galera,

Vou deixar uma dica:

: Geometria.png (8.35 KiB) Exibido 1319 vezes

Mostrem que [tex3]FA=FE=FB[/tex3] , e com isto o problema está solucionado, pois teremos:
[tex3](60+x)+(60+x)+2x=180[/tex3]
[tex3]\boxed{x=15^\circ}[/tex3]

PS.: As linhas em vermelho são traços auxiliares.

Qualquer coisa é só perguntar.

Abraço.

vc traçou um triang equi , entao FA = FB , como prova q = FE ?

Pegue o ponto [tex3]X[/tex3] : de encontro da mediatriz de [tex3]BE[/tex3] com a mediana [tex3]AD[/tex3] . Se você provar que esse ponto é vértice de um triângulo equilátero [tex3]BXE[/tex3] o problema acaba também.

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