Ensino Fundamental ⇒ Triângulo ABC - Pontos Notáveis Tópico resolvido

[Hoshyminiag]

Num triângulo acutângul ABC, seu ortocentro dista 8 cm do vértice B. Qual a distância do circuncentro desse triângulo ao lado AC?

Resposta

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Gab: 4

[Birnebaum]

O triângulo equilátero é um triângulo acutângulo . Todos os âng , são menores que 180º.
É sabido que no triâng. equilátero o ortocentro,baricentro e circuncentro coincidem.
Desenhe um triâng. equilátero com vértice B e base AC . Se 8 é a distãncia do vértice B ao ortocentro , essa é a mesma distância do baricentro ao vértice B.
O baricentro divide a mediana na proporçãso 2:1 , então a distância do baricentro para o lado AC é 8;2=4 .
Para demonstrar para um triângulo qualquer complica.

Att Bb

[Auto Excluído (ID:12031)]

A distância é a metade. Não é difícil pra mostrar pra um triângulo qualquer isso.

Seja [tex3]ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABC[/tex3]

o triângulo
[tex3]MN[/tex3]

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[tex3]MN[/tex3]

os pontos médios dos lados [tex3]BC[/tex3]

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[tex3]BC[/tex3]

e [tex3]AC[/tex3]

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[tex3]AC[/tex3]

o circuncentro [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

é o encontro das mediatrizes (retas perpendiculares ao lados passando pelos pontos médios, logo paralelas às alturas)
é só ver que se o ortocentro for [tex3]H[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]H[/tex3]

os triângulos:
[tex3]OMN[/tex3]

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[tex3]OMN[/tex3]

e [tex3]ABH[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABH[/tex3]

são semelhantes.
Como MN é base média de AB a razão da semelhança é meio. A distância do circuncentro a qualquer lado é metade da distância de um vértice até o ortocentro.