Olimpíadas

Mensagem não lidapor **gabrielifce** » 04 Fev 2015, 13:17

A função f é definida sobre o conjunto dos números reais satisfazendo f(1)=1. Além disso, f(x+5)[tex3]\geq f(x)+5[/tex3] e f(x+1)[tex3]\leq f(x) +1[/tex3] , para todo x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] . Sendo g(x)=f(x)+1-x, para todo x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] , determine g(2009)
resp.:1

$g(x+5) = f(x+5) +1 - (x+5) \geq f(x) + 5 + 1 -x -5 = g(x)$
$g(x+5) \geq g(x)$

$g(x+1) = f(x+1) + 1 - (x+1) \leq f(x) + 1 -x = g(x)$
$g(x+1) \leq g(x)$

parece que dá pra mostrar que $g$ tem que ser constante, dai é só ver que
$g(1) = 1 + 1 - 1 = 1$ e então todo $g$ terá de ser 1
veja que:
$g(0) \geq g(1) \geq g(2) \geq g(3) \geq g(4) \geq g(5) \geq g(0)$
logo
$g(0) \geq g(5) \geq g(0)$
logo $g(5) = g(0)$
é fácil ver que você pode estender isso a qualquer P.A de razão $5$
$g(0) = g(5) = g(10) = ... = g(5n) = ...$
$g(1) = g(6) = g(11) = ... = g(5n+1) = ...$
você pode ver também que
$g(1) \geq g(5) \geq g(6) = g(1) \rightarrow g(5) = g(1)$
então você pode sim concluir que para todo número natural $g(n) =1$
pra esse exercício é só até ai que vc precisa chegar.

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