(Olimpíada da China-98) Aritmética

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ALANSILVA: Mensagens: 1381; Registrado em: 26 Jul 2013, 22:59; Última visita: 15-03-23; Localização: Rio de Janeiro-RJ; Agradeceu: 423 vezes; Agradeceram: 162 vezes

Jan 2015 09 06:59

(Olimpíada da China-98) Aritmética

Mensagem não lidapor ALANSILVA » 09 Jan 2015, 06:59

Mensagem não lida por ALANSILVA » 09 Jan 2015, 06:59

Existe algum inteiro positivo N tal que o número formado pelos últimos dois dígitos da soma 1+2+3+...+N=...98?

No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)

ALANSILVA

Auto Excluído (ID:12031): Última visita: 31-12-69

Jan 2015 09 09:45

Re: (Olimpíada da China-98) Aritmética

Mensagem não lidapor Auto Excluído (ID:12031) » 09 Jan 2015, 09:45

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) » 09 Jan 2015, 09:45

$\frac{n(n+1)}{2} \equiv 98\mod(100)$
$n(n+1) \equiv 196\mod(100) \equiv 96 \mod(100)$
devemos ter:

$n(n+1) = 96 + 100k$

resolvendo o bhaskara

$n = \frac{\sqrt{400k+385}-1}{2}$

basta existir algum $k$ inteiro positivo tal que $400k + 385$ seja quadrado perfeito.
É fácil ver que esse número é divisível por 5:
$x^2 = 400k + 385$
$x = 5y$
$25y^2 = 400k + 385$
$5y^2 = 80k + 77$

absurdo, pois o lado direito representa um número terminado em 7, logo não é divisível por 5.
Então não existe um inteiro N satisfazendo a condição exigida pelo enunciado.

Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 09 Jan 2015, 09:45, em um total de 1 vez.

Auto Excluído (ID:12031)

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Primeira Postagem

Se a e b sao numeros complexos conjugados, tal que \frac{a}{b^2} é um numero real e |a-b|=2\sqrt{3}

Então o valor de |a| é igual a:

a)1
b)2
c)3
d)4
e)5

Eu estou chegando a resultados...

Últ. msg

Seja a=x+yi , b=x-yi :

|a-b|=|(x+yi)-(x-yi)|=\sqrt{4y^{2}}=2\sqrt{3}
y^{2}=3

\frac{a}{b^2}=\frac{x+yi}{(x-yi)^2}=\frac{x+yi}{(x^2-y^{2})-2xyi}...

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Primeira Postagem

A função f é definida sobre o conjunto dos números reais satisfazendo f(1)=1. Além disso, f(x+5) \geq f(x)+5 e f(x+1) \leq f(x) +1 , para todo x \in \mathbb{R} . Sendo g(x)=f(x)+1-x, para todo x \in...

Últ. msg

g(x+5) = f(x+5) +1 - (x+5) \geq f(x) + 5 + 1 -x -5 = g(x)
g(x+5) \geq g(x)

g(x+1) = f(x+1) + 1 - (x+1) \leq f(x) + 1 -x = g(x)
g(x+1) \leq g(x)

parece que dá pra mostrar que g tem que ser...

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Primeira Postagem

Seja f uma função estritamente decrescente definida sobre (0,\,+\infty) . Encontre todos os valores de a satisfazendo f (2a^{2}+a+1)
Últ. msg

Olá, Gabriel.

Se a função é estritamente decrescente no intervalo dado e f(2a^2+a+1) 3a^2-4a+1

Além disso,

Como o intervalo envolve apenas números reais positivos, devemos ter

2) 2a^2+a+1>0
3)...

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Primeira Postagem

Seja x um número real tal que 0 \leq x \leq \frac{2\pi}{9} , prove que
sen(x)^{sen(x)} < cos(x)

Últ. msg

undefinied3 ,
Perceba que é suficiente provar que
F(x)=\log(\cos(x))-\log(\sin(x)^{\sin(x)})
é não negativo no intervalo dado.
Assim, perceba que F(2\pi/9)\approx 0.0175591>0

Nós também podemos...

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Primeira Postagem

Se P(x) é um polinômio de grau n, tal que P(w)=\frac{1}{w} para w\in \{1,2,2^2,\dots,2^n\} , calcule P(0)

Últ. msg

Entendi, eu fiz algo bem semelhante, mas como não foi definido se n era par ou ímpar, poderia chegar em duas respostas, a melhor opção era colocar o -1 em evidência mesmo, dai não precisaria criar 2...

2 Resp.

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30 Set 2019, 20:30

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