Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Ardovino** » 15 Jan 2015, 18:16 · Mensagem não lida por **Ardovino** » 15 Jan 2015, 18:16

Reduza a seguinte expressão:

[tex3](sec^2x + tg^2x)(sec^4x + tg^4x) + tg^8x[/tex3]

gabarito:

Resposta

[tex3]sec^8x[/tex3]

Mensagem não lidapor **emanuel9393** » 15 Jan 2015, 23:42 · 15 Jan 2015, 23:42

Olá, Ardovino!

Tentei de todas as formas mas não cheguei ao resultado. Mas consegui uma simplificação que acredito que pode te ajudar. Veja:

$\left(\dfrac{1}{\cos^2x}+\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}\right)\left(\dfrac{1}{\cos^4x}+\dfrac{\sin^4x}{\cos^4x}\right)+\tan ^8 x =\\ = \left(\dfrac{1+\sin^2x}{\cos^2x}\right)\left(\dfrac{1+\sin^4x}{\cos^4x}\right)+\dfrac{\sin^8x}{\cos^8x} = \dfrac{\overbrace{1+\sin^2x+\sin^4x+\sin^6x}^{(I)}}{\cos^6x}+\dfrac{\sin^8x}{\cos^8x}$

Mas, em $(I)$ temos que $(1,\sin^2x,\sin^4x,\sin^6x)$ é uma P.G. de razão $q=\sin^2x$ , logo sua soma é dada por:

$1+\sin^2x+\sin^4x+\sin^6x=\dfrac{(1-\sin^4x)}{(1-\sin^2x)}$

Substituindo esse resultado na simplificação, obtemos:

$\dfrac{1-\sin^4x}{\cos^8x}+\dfrac{\sin^8x}{\cos^8x}=\boxed{\boxed{\dfrac{\sin^8x-\sin^4x+1}{\cos^8x}}}$

Obs.: Obviamente se alguém demonstrar que, nesse problema, $\sin^8x-\sin^4x=0$ , o problema está resolvido. O que me soa estranho, inclusive.

Espero ter ajudado em algo.
Grande abraço!

16 Jan 2015, 02:03

emanuel9393 escreveu: Mas, em $(I)$
Código: Selecionar tudo
[tex3](I)[/tex3]
temos que $(1,\sin^2x,\sin^4x,\sin^6x)$
Código: Selecionar tudo
[tex3](1,\sin^2x,\sin^4x,\sin^6x)[/tex3]
é uma P.G. de razão $q=\sin^2x$
Código: Selecionar tudo
[tex3]q=\sin^2x[/tex3]
, logo sua soma é dada por:
$1+\sin^2x+\sin^4x+\sin^6x=\dfrac{(1-\sin^4x)}{(1-\sin^2x)}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]1+\sin^2x+\sin^4x+\sin^6x=\dfrac{(1-\sin^4x)}{(1-\sin^2x)}[/tex3]

o correto é:
$(q-1)(1+q+q^2+q^3) = q^4-1$
$1+\sin^2x+\sin^4x+\sin^6x =\frac{\sin^8x-1}{\sin^2x-1} = \frac{1-\sin^8}{\cos^2x}$
dai sai o resultado.

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