A imagem de um objeto formada por um espelho côncavo mede metade do tamanho do objeto. Se o objeto é deslocado de uma distância de 15cm em direção ao espelho, o tamanho da imagem terá o dobro do tamanho do objeto.
Estime a distância focal do espelho e assinale a alternativa correta.
a)[tex3]\sqrt{0,1}[/tex3]
cm
b)0,1cm
c)10cm
d)15cm
e)20cm
bem eu usei as informações do enunciado e utilizei a equação do aumento linear transversal e cheguei a duas equações com o P' isolado porém não sei mais o que fazer, alguém me ajuda??
Física II ⇒ (UEL PR) Óptica - Espelho côncavo
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tailanfelix
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Dez 2014
28
16:53
(UEL PR) Óptica - Espelho côncavo
Editado pela última vez por tailanfelix em 28 Dez 2014, 16:53, em um total de 1 vez.
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joaopcarv
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Out 2017
09
16:33
Re: (UEL PR) Óptica - Espelho côncavo
Equação de Gauss para a Óptica (espelhos côncavos, cujo foco é positivo) [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{(p \ \cdot \ p')}{(p \ + \ p')}[/tex3] , onde [tex3]f[/tex3] é o foco de um espelho (distância focal), [tex3]p[/tex3] a o posição do objeto e [tex3]p'[/tex3] a de sua imagem (em relação ao vértice do espelho).
Além disso, temos também o aumento linear [tex3]A \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]A \ = \ \frac{- p'}{p} \ = \ \frac{i}{o}[/tex3] , onde [tex3]i[/tex3] é o tamanho da imagem e [tex3]o[/tex3] do objeto.
Na primeira situação, usando as variáveis [tex3](i,o, p, p',f)[/tex3] , temos [tex3]\rightarrow[/tex3]
,
[tex3]\frac{- p'}{p} \ = \ \frac{i}{o} \ \rightarrow[/tex3] Do enunciado, a imagem é a metade do objeto :
[tex3]\frac{- p'}{p} \ = \ \frac{1}{2} \ \rightarrow \ \boxed{p' \ = \ \frac{-p}{2}}[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{(p \ \cdot \ \cancelto{\frac{-p}{2}}{p'})}{(p \ + \ \cancelto{\frac{-p}{2}}{p'})} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{\frac{-p^{\cancel{2}}}{\cancel{2}}}{\frac{\cancel{p}}{\cancel{2}}} \ \rightarrow \ \boxed{f \ = \ -p}[/tex3]
Na segunda situação, o espelho é o mesmo (logo, o foco não muda), mas, em contrapartida, o objeto é deslocado [tex3]15 \ cm[/tex3] , ou seja, a sua nova posição é [tex3]p_{(2)} \ = \ (p \ + \ 15) \ cm[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
Além disso, o novo aumento linear é [tex3]A' \ = \ 2[/tex3] , ou seja, a nova imagem é o dobro do objeto. Sendo [tex3]p'_{(2)}[/tex3] a sua nova posição, temos [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]2 \ = \ \frac{-p'_{(2)}}{p_{(2)}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]2 \ = \ \frac{-p'_{(2)}}{\cancelto{(p \ + \ 15)}{p_{(2)}}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]2 \ = \ \frac{-p'}{(p \ + \ 15)} \ \rightarrow \ \boxed{p' \ = \ - \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15) \ cm}[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{(p \ \cdot \ p')}{(p \ + \ p')} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{(\cancelto{(p \ + \ 15)}{p} \ \cdot \ \cancelto{- \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{p'})}{(\cancelto{(p \ + \ 15)}{p} \ + \ \cancelto{- \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{p'})} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{(p \ + \ 15) \ \cdot \ - \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{(p \ + \ 15) \ - \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{\cancel{(p \ + \ 15)} \ \cdot \ - \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{\cancel{(p \ + \ 15)} \ \cdot \ (1 \ - \ 2)} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{- \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{-1} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{f \ = \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}[/tex3]
Fazendo [tex3]f \ = \ f[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\cancelto{-p}{f} \ = \ \cancelto{2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{f} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]-p \ = \ 2 \ \cdot p \ + \ 30 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]- 3 \ \cdot \ p \ = \ 30 \ \rightarrow \ \boxed{p \ = \ -10 \ cm}[/tex3]
Logo, o foco é [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \cancelto{-10}{p} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{f \ = \ 10 \ cm}}[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{(p \ \cdot \ p')}{(p \ + \ p')}[/tex3] , onde [tex3]f[/tex3] é o foco de um espelho (distância focal), [tex3]p[/tex3] a o posição do objeto e [tex3]p'[/tex3] a de sua imagem (em relação ao vértice do espelho).
Além disso, temos também o aumento linear [tex3]A \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]A \ = \ \frac{- p'}{p} \ = \ \frac{i}{o}[/tex3] , onde [tex3]i[/tex3] é o tamanho da imagem e [tex3]o[/tex3] do objeto.
Na primeira situação, usando as variáveis [tex3](i,o, p, p',f)[/tex3] , temos [tex3]\rightarrow[/tex3]
,
[tex3]\frac{- p'}{p} \ = \ \frac{i}{o} \ \rightarrow[/tex3] Do enunciado, a imagem é a metade do objeto :
[tex3]\frac{- p'}{p} \ = \ \frac{1}{2} \ \rightarrow \ \boxed{p' \ = \ \frac{-p}{2}}[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{(p \ \cdot \ \cancelto{\frac{-p}{2}}{p'})}{(p \ + \ \cancelto{\frac{-p}{2}}{p'})} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{\frac{-p^{\cancel{2}}}{\cancel{2}}}{\frac{\cancel{p}}{\cancel{2}}} \ \rightarrow \ \boxed{f \ = \ -p}[/tex3]
Na segunda situação, o espelho é o mesmo (logo, o foco não muda), mas, em contrapartida, o objeto é deslocado [tex3]15 \ cm[/tex3] , ou seja, a sua nova posição é [tex3]p_{(2)} \ = \ (p \ + \ 15) \ cm[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
Além disso, o novo aumento linear é [tex3]A' \ = \ 2[/tex3] , ou seja, a nova imagem é o dobro do objeto. Sendo [tex3]p'_{(2)}[/tex3] a sua nova posição, temos [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]2 \ = \ \frac{-p'_{(2)}}{p_{(2)}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]2 \ = \ \frac{-p'_{(2)}}{\cancelto{(p \ + \ 15)}{p_{(2)}}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]2 \ = \ \frac{-p'}{(p \ + \ 15)} \ \rightarrow \ \boxed{p' \ = \ - \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15) \ cm}[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{(p \ \cdot \ p')}{(p \ + \ p')} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{(\cancelto{(p \ + \ 15)}{p} \ \cdot \ \cancelto{- \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{p'})}{(\cancelto{(p \ + \ 15)}{p} \ + \ \cancelto{- \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{p'})} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{(p \ + \ 15) \ \cdot \ - \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{(p \ + \ 15) \ - \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{\cancel{(p \ + \ 15)} \ \cdot \ - \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{\cancel{(p \ + \ 15)} \ \cdot \ (1 \ - \ 2)} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \frac{- \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{-1} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{f \ = \ 2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}[/tex3]
Fazendo [tex3]f \ = \ f[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\cancelto{-p}{f} \ = \ \cancelto{2 \ \cdot \ (p \ + \ 15)}{f} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]-p \ = \ 2 \ \cdot p \ + \ 30 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]- 3 \ \cdot \ p \ = \ 30 \ \rightarrow \ \boxed{p \ = \ -10 \ cm}[/tex3]
Logo, o foco é [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]f \ = \ \cancelto{-10}{p} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{f \ = \ 10 \ cm}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
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