Ensino Superior ⇒ Equação Diferencial Exata

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lgantus
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Nov 2014 27 09:14

Equação Diferencial Exata

Mensagem não lidapor lgantus » 27 Nov 2014, 09:14

Mensagem não lida por lgantus »

Por favor, me ajudem.

Obter solução geral da eq. diferencia exata (3x^2y+2)dx+(x^3+y)dy=0
e preciso da particular sabendo que y(0)=1

Obrigado amigos.
Editado pela última vez por lgantus em 27 Nov 2014, 09:14, em um total de 2 vezes.
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candre
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Jan 2015 05 22:38

Re: Equação Diferencial Exata

Mensagem não lidapor candre » 05 Jan 2015, 22:38

Mensagem não lida por candre »

Sendo
(3x^2y+2)dx+(x^3+y)dy=0
Temos
M=3x^2y+2\Rightarrow M_y=3x^2\\ N=x^3+y\Rightarrow N_x=3x^2
como M_y=N_x logo essa e uma equacao diferencial homogenea exata, logo temos que existe
dF=Mdx+Ndy
e entao
F=\int 3x^2y+2dx\\ =x^3y+2x+\mu(y)\\ F_y=x^3+\mu_y(y)\\ F_y=N\\ x^3+\mu_y(y)=x^3+y\\ \mu_y(y)=y\\ \mu(y)=\frac{y^2}{2}+k
logo temos
F(x,y)=x^3y+2x+\frac{y^2}{2}+k
logo temos como sulucão
x^3y+2x+\frac{y^2}{2}+k=p\\x^3y+2x+\frac{y^2}{2}=C
substituindo as condições iniciais y(0)=1
C=0^3\cdot1+2\cdot0+\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}
o que da como solucao
x^3y+2x+\frac{y^2}{2}=\frac{1}{2}
Editado pela última vez por candre em 05 Jan 2015, 22:38, em um total de 1 vez.
a vida e uma caixinha de surpresas.
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