Pré-Vestibular ⇒ (Unifor-Medicina) Geometria Plana Tópico resolvido

[kiritoITA]

A interseção das áreas de um retângulo e um quarto de um círculo (vide medidas abaixo) forma uma região semelhante à vela de uma jangada cearense. Sabendo-se que [tex3]y=x\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]y=x\sqrt{3}[/tex3]

, a área da região hachurada em função de [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

é :

imagem.jpg (10.04 KiB) Exibido 3354 vezes

A) [tex3]\frac{\pi y^{2}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi y^{2}}{4}[/tex3]

B) [tex3]\frac{\pi y^{2}}{6}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi y^{2}}{6}[/tex3]

C) [tex3]\frac{\pi y^{2}}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi y^{2}}{8}[/tex3]

D) [tex3]\frac{\pi y^{2}}{10}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi y^{2}}{10}[/tex3]

E) [tex3]\frac{\pi y^{2}}{12}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi y^{2}}{12}[/tex3]

Resposta

---

E)

[VALDECIRTOZZI]

Jangada.jpg (6.83 KiB) Exibido 3346 vezes

Note que [tex3]\tan A\hat O B=\frac{x}{y}=\frac{x}{x\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}[/tex3]

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[tex3]\tan A\hat O B=\frac{x}{y}=\frac{x}{x\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}[/tex3]

[tex3]\angle A \hat O B=30^o[/tex3]

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[tex3]\angle A \hat O B=30^o[/tex3]

A área procurada é o setor de circular de raio [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

e ângulo central igual a [tex3]30^o[/tex3]

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[tex3]30^o[/tex3]

.

[tex3]A_{setor \ A \hat O B}=\frac{\alpha \cdot \pi \cdot r^2}{360^o}=\frac{30^o \cdot \pi \cdot y^2}{360^o}=\frac{\pi \cdot y^2}{12}[/tex3]

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[tex3]A_{setor \ A \hat O B}=\frac{\alpha \cdot \pi \cdot r^2}{360^o}=\frac{30^o \cdot \pi \cdot y^2}{360^o}=\frac{\pi \cdot y^2}{12}[/tex3]

Espero ter ajudado!

[kiritoITA]

Jangada.jpg

Note que [tex3]\tan A\hat O B=\frac{x}{y}=\frac{x}{x\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}[/tex3]

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[tex3]\tan A\hat O B=\frac{x}{y}=\frac{x}{x\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}[/tex3]

[tex3]\angle A \hat O B=30^o[/tex3]

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[tex3]\angle A \hat O B=30^o[/tex3]

A área procurada é o setor de circular de raio [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

e ângulo central igual a [tex3]30^o[/tex3]

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[tex3]30^o[/tex3]

.

[tex3]A_{setor \ A \hat O B}=\frac{\alpha \cdot \pi \cdot r^2}{360^o}=\frac{30^o \cdot \pi \cdot y^2}{360^o}=\frac{\pi \cdot y^2}{12}[/tex3]

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[tex3]A_{setor \ A \hat O B}=\frac{\alpha \cdot \pi \cdot r^2}{360^o}=\frac{30^o \cdot \pi \cdot y^2}{360^o}=\frac{\pi \cdot y^2}{12}[/tex3]

Espero ter ajudado!

por que a área procurada é o setor circular de raio y e ângulo central igual a 30º? (se puder explicar melhor eu agradeceria bastante)

[VALDECIRTOZZI]

Esse fato vem da definição de um setor circular. A área hachurada tem ângulo central 30°, como foi determinado, e as retas suportes dessa área hachurada medem y. Isso caractriza um setor circular.
Um círculo de raio y tem área [tex3]\pi y^2[/tex3]

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[tex3]\pi y^2[/tex3]

e isso corresponde a 360°, para 30° faz-se uma regra de três que dá a expressão apresentada.

[kiritoITA]

Esse fato vem da definição de um setor circular. A área hachurada tem ângulo central 30°, como foi determinado, e as retas suportes dessa área hachurada medem y. Isso caractriza um setor circular.
Um círculo de raio y tem área

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[tex3]\pi y^2[/tex3]

e isso corresponde a 360°, para 30° faz-se uma regra de três que dá a expressão apresentada.

a dúvida não é essa, a dúvida´e unicamente : como você sabe que 30º é o ângulo central? não estou percebendo direito isso.

[VALDECIRTOZZI]

Veja, o ângulo do setor é [tex3]A\hat O B[/tex3]

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[tex3]A\hat O B[/tex3]

, sua tangente, pelos cálculos da questão, é [tex3]\frac{\sqrt3}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt3}{3}[/tex3]

e esse valor de tangente é de um ângulo de 30°.