Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **Hoshyminiag** » 13 Nov 2014, 22:29 · 13 Nov 2014, 22:29

Num trapézio ABCD, de bases AD e BC, as bissetrizes externas dos ângulos <A e <B intersectam-se no ponto K e as bissetrizes externas dos ângulo <C e <D intersectam-se no ponto E. Se KE = 99, o perímetro do trapézio é igual a:

a) 99
b) 165
c) 198
d) 264
e) 297

Resposta

Gabarito: A

Solução por Plana, por favor.

Mensagem não lidapor **jedi** » 15 Nov 2014, 19:00 · Mensagem não lida por **jedi** » 15 Nov 2014, 19:00

: trapezio.png (4.51 KiB) Exibido 1694 vezes

pelo fato BC e AD serem paralelas sabemos que

$2\alpha+2\beta=180$

$\alpha+\beta=90$

e

$2\phi+2\theta=180$

$\phi+\theta=90$

com isso concluimos que

$x=AB.cos(\alpha).sen(\alpha)$

e

$y=AB.sen(\alpha).cos(\alpha)$

portanto $x=y$ e da mesma forma $z=t$

sendo assim os pontos K e E estão na metade da distancia entre AD e BC
portanto a reta KE é paralela a AD e BC

a reta em azul ligada ao ponto A tem medida

$AB.cos^2(\alpha)$

ja a reta azul ligado ao ponto B tem medida

$AB.sen^2(\alpha)$

a reta em azul ligada ao ponto D tem medida

$CD.cos^2(\phi)$

ja a reta azul ligado ao ponto C tem medida

$CD.sen^2(\phi)$

com sido teremos que

$ABcos^2(\alpha)+AD+CD.cos^2(\phi)=KE$

e

$ABsen^2(\alpha)+BC+CD.sen^2(\phi)=KE$

portanto somando tudo

$ABcos^2(\alpha)+AD+CD.cos^2(\phi)+ABsen^2(\alpha)+BC+CD.sen^2(\phi)=2KE$

$AB(cos^2(\alpha)+sen^2(\alpha))+AD+CD.(cos^2(\phi)+sen^2(\phi))+BC=2KE$

$AB+AD+CD+BD=2KE$

mas isto é justamente o perímetro

portanto o perímetro é 2KE=198

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 15 Nov 2014, 21:56 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 15 Nov 2014, 21:56

Olá á todos,

Solução usando geometria plana.

: trapezium.png (13.54 KiB) Exibido 1691 vezes

É fácil notar que $<I$ é reto e $<I\hat{M}D = <I\hat{A}D$ , logo os triângulos $\triangle IMD$ e $\triangle IAD$ são congruentes, analogamente com os outros dois triângulo do lado oposto pela simetria, e ainda
$\overline{IM} =\overline{IA}$ e $\overline{BJ} = \overline{JN}$

Como $IJ || DC$ , K e L só podem ser pontos médios de AD e BC respectivamentes, portanto,

$\overline{KL}=\frac{\overline{AB}+\overline{DC}}{2}$
$\overline{IK}=\overline{KD}=\frac{\overline{AD}}{2}$ , pois K é o ponto médio do triângulo reto $\triangle{AID}$ , analogamente $\overline{LJ}=\overline{LC}=\frac{\overline{BC}}{2}$

Portanto :
$\overline{IJ}=\overline{IK}+\overline{KL}+\overline{LJ}$
$\boxed{\boxed{\overline{IJ}=\frac{1}{2}(\overline{AB}+\overline{DC}+\overline{AD}+\overline{BC})}}$

$\frac{1}{2}(\overline{AB}+\overline{DC}+\overline{AD}+\overline{BC})=99$
$(\overline{AB}+\overline{DC}+\overline{AD}+\overline{BC})=198$

De onde tirou este exercício ?
Abraço !

Mensagem não lidapor **Hoshyminiag** » 18 Nov 2014, 11:14 · 18 Nov 2014, 11:14

Vinisth, você poderia me explicar por que K e L são pontos médios? Não entendi essa parte.
Essa questão é da apostila de um curso.
Obrigado

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 18 Nov 2014, 12:35 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 18 Nov 2014, 12:35

I e J são pontos médios de AM e BN, como IJ||CD||MN, logo K e L são pontos médios de AD e BC também.
Que apostila ? Que curso ? Qual o nome ?

Abraço

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