IME / ITA ⇒ (IME CG - 2007) Trigonometria Tópico resolvido

[Willm17]

Determine a solução da equação

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[tex3]arccotg\left(\frac{x+2}{x^{2}-4}\right)+arccotg\left(\frac{x-1}{x^{2}-2x+1}\right)=arctg\left(\frac{4}{3}\right)~~x\in \mathbb{R}[/tex3]

[jrneliodias]

Olá, Will.

Seja:

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[tex3]\cot^{-1} \left(\frac{x+2}{x^{2}-4}\right)=\alpha[/tex3]

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[tex3]\cot^{-1} \left(\frac{x-1}{x^{2}-2x+1}\right)=\beta[/tex3]

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[tex3]\tan^{-1}\frac{4}{3}=\theta[/tex3]

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[tex3][/tex3]

Então,

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[tex3]\tan \alpha=\frac{x^2-4}{x+2}=x-2[/tex3]

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[tex3]\tan \beta=\frac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1[/tex3]

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[tex3]\alpha+\beta=\theta[/tex3]

Logo,

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[tex3]\tan (\alpha +\beta)=\tan \theta[/tex3]

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[tex3]\frac{\tan \alpha +\tan \beta}{1-\tan \alpha\cdot \tan \beta}=\tan \theta[/tex3]

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[tex3]\frac{x-2+x-1}{1-(x-1)(x-2)}=\frac{4}{3}[/tex3]

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[tex3]4x^2-6x-5=0[/tex3]

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[tex3]x=\frac{3\pm\sqrt{29}}{4}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[PedroCunha]

Nélio, apenas uma das soluções é válida.

WolframAlpha

Um colega, do fórum pir2, acha que é o seguinte:

"Penso ser o seguinte:

A 2ª solução tem raiz negativa x' < 0

Neste caso as duas tangentes seriam negativas (arcos do 2º quadrante, por exemplo)

A soma dos dois arcos poderia ser um arco do 4º quadrante, também com tangente negativa. Acontece que a tangente da soma dos dois arcos é positiva (4/3) e isto criaria uma contradição."

Abraços,
Pedro

[jrneliodias]

Caro, PedroCunha.

Concordo com você. Na verdade, quando achei as duas soluções, vi que ele diz claramente "solução", então estava pensando em usar as restrições da função inversa. Porém, esse pensamento é muito bom.

Obrigado.