Olimpíadas ⇒ (OEM) Divisibilidade Tópico resolvido

[lflusao]

Sejam a e b [tex3]\in[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in[/tex3]

{0,1,2,...,9}. Determine os valores possíveis de [tex3](a-b)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-b)^2[/tex3]

para que 23a1992b seja divisível por 45.

(a) 0 e 1
(b) 0 e 9
(c) 4 e 1
(d) 4 e 9
(e) 4 e 16

[mateusITA]

Para 23a1992b ser divisível por 45, deve ser divisível por 9 e por 5 simultaneamente. Para ser divisível por 5, o número deve terminar em 0 ou em 5, ou seja, b=0 ou b=5.

Para b=0: Lembrando que o critério de divisibilidade por 9 é a soma dos algarismos ser um múltiplo de 9, temos:
2+3+a+1+9+9+2+0 = a+26

Como a trata-se de um algarismo, ele varia de 1 a 9 como o enunciado explicita. O único valor possível para a o qual a+26 é multiplo de 9 é o 1.

Para b=5: 2+3+a+1+9+9+2+5 = a+31
O único valor possível para a o qual a+31 é multiplo de 9 é o 5.

Assim,
Para b=0 e a=1: (1-0 [tex3])^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3])^{2}[/tex3]

= 1
Para b=5 e a=5: (5-5 [tex3])^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3])^{2}[/tex3]

= 0
Letra A.