Quantos números de quatro algarismos [tex3]abcd[/tex3]
OBS.:Note que [tex3]abcd[/tex3]
não é o produto de [tex3]a[/tex3]
,[tex3]b[/tex3]
,[tex3]c[/tex3]
e [tex3]d[/tex3]
, mas sim um número de algarismos [tex3]a[/tex3]
,[tex3]b[/tex3]
,[tex3]c[/tex3]
e [tex3]d[/tex3]
.
são tais que [tex3]a+b=c+d[/tex3]
?Olimpíadas ⇒ Números de Quatro Algarismos
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Ago 2014
01
18:34
Números de Quatro Algarismos
Editado pela última vez por Cláudio02 em 01 Ago 2014, 18:34, em um total de 1 vez.
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Set 2014
02
01:00
Re: Números de Quatro Algarismos
fazendo a + b = c + d = k
k = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
o algarismo 'a' não pode ser 0
para k = 1
valores possíveis para o par (a, b): a = {1}, pois 1 - a dará um valor apropriado para b = {0}
valores possiveis para o par (c, d): c = {0, 1}, pois, para cada um desses valores, 1 - c dará um valor apropriado para d = {0, 1}
para k = 2
valores possiveis para o par (a, b): a = {1, 2}, pois, para cada um desses valores, 2 - a dará um valor apropriado para b = {0, 1}
valores possiveis para o par (c, d): c = {0, 1, 2} pois, para cada um desses valores, 2 - c dará um valor apropriado para d = {0, 1, 2}
para k = 9
valores possíveis para o par (a, b): a = {1, 2, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 9 - a dará um valor apropriado para b = {0, 1, ..., 8}
valores possíveis para o par (c, d): c = {0, 1, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 9 - d dará um valor apropriado para d = {0, 1, ..., 9}
note que para o par (a, b) podemos ter k possibilidades e para o par (c, d) podemos ter k + 1 possibilidades.
com isso, teremos, no total:
números para k = {1, 2, ..., 9}
k = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
o algarismos 'a' e 'b' não pode ser 0
para k = 10
valores possíveis para o par (a, b): a = {1, 2, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 10 - a dará um valor apropriado para b = {1, 2, ..., 9}
valores possíveis para o par (c, d): c = {1, 2, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 10 - c dará um valor apropriado para d = {1, 2, ..., 9}
para k = 11
valores possíveis para o par (a, b): a = {2, 3, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 11 - a dará um valor apropriado para b = {2, 3, ..., 9}
valores possiveis para o par (c, d): c = {2, 3, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 11 - c dará um valor apropriado para d = {2, 3, ..., 9}
para k = 18
valor possível para o par (a, b): a = {9}, pois 18 - a dará um valor apropriado para b = {9}
valor possível para o par (c, d): c = {9}, pois 18 - c dará um valor apropriado para d = {9}
note que tanto para o par (a, b) quanto para o par (c, d) tem o mesmo número de possibilidades.
com isso, teremos, no total:
números para k = {11, 12, ..., 18}
portanto, teremos 330 + 285 = 615 números abcd tais que a + b = c + d
presumo que seja isso.
k = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
o algarismo 'a' não pode ser 0
para k = 1
valores possíveis para o par (a, b): a = {1}, pois 1 - a dará um valor apropriado para b = {0}
valores possiveis para o par (c, d): c = {0, 1}, pois, para cada um desses valores, 1 - c dará um valor apropriado para d = {0, 1}
para k = 2
valores possiveis para o par (a, b): a = {1, 2}, pois, para cada um desses valores, 2 - a dará um valor apropriado para b = {0, 1}
valores possiveis para o par (c, d): c = {0, 1, 2} pois, para cada um desses valores, 2 - c dará um valor apropriado para d = {0, 1, 2}
para k = 9
valores possíveis para o par (a, b): a = {1, 2, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 9 - a dará um valor apropriado para b = {0, 1, ..., 8}
valores possíveis para o par (c, d): c = {0, 1, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 9 - d dará um valor apropriado para d = {0, 1, ..., 9}
note que para o par (a, b) podemos ter k possibilidades e para o par (c, d) podemos ter k + 1 possibilidades.
com isso, teremos, no total:
números para k = {1, 2, ..., 9}
k = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
o algarismos 'a' e 'b' não pode ser 0
para k = 10
valores possíveis para o par (a, b): a = {1, 2, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 10 - a dará um valor apropriado para b = {1, 2, ..., 9}
valores possíveis para o par (c, d): c = {1, 2, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 10 - c dará um valor apropriado para d = {1, 2, ..., 9}
para k = 11
valores possíveis para o par (a, b): a = {2, 3, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 11 - a dará um valor apropriado para b = {2, 3, ..., 9}
valores possiveis para o par (c, d): c = {2, 3, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 11 - c dará um valor apropriado para d = {2, 3, ..., 9}
para k = 18
valor possível para o par (a, b): a = {9}, pois 18 - a dará um valor apropriado para b = {9}
valor possível para o par (c, d): c = {9}, pois 18 - c dará um valor apropriado para d = {9}
note que tanto para o par (a, b) quanto para o par (c, d) tem o mesmo número de possibilidades.
com isso, teremos, no total:
números para k = {11, 12, ..., 18}
portanto, teremos 330 + 285 = 615 números abcd tais que a + b = c + d
presumo que seja isso.
Editado pela última vez por ttbr96 em 02 Set 2014, 01:00, em um total de 1 vez.
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