Ensino Superior

carlosa · Mensagem não lida por **carlosa** » 23 Jul 2014, 13:32

Calcular, por integração, a área finita entre as curvas.
y=[tex3]x^{3}-2x[/tex3] ; y=6x-[tex3]x^{3}[/tex3]

Resposta: 16

Fonte: Granville

23 Jul 2014, 15:00

Consideremos o gráfico das funções dadas $f(x)=x^3-2x$ (em verde)e $g(x)=6x-x^3$ (em vermelho)

: Área sob a curva.jpg (37.18 KiB) Exibido 386 vezes

Observe que a área procurada é a pintada de cinza no gráfico acima.
As abscissas dos pontos de intersecção das cursas é dada pela equação:
$f(x)=g(x)$
$x^3-2x=6x-x^3$
$2x^3-8x=0$
$x^3-4x=0$
$x\cdot \left(x^2-4\right)=0$
$x=0$
ou
$x=\pm 2$

A área cinza será dada por:
$A=\int\limits_{-2}^{0}\left[f(x)-g(x) \right]dx+\int\limits_{0}^{2}\left[g(x)-f(x)\right]dx$
$A=\int\limits_{-2}^{0}f(x)dx-\int\limits_{-2}^{0}g(x)dx+\int\limits_{0}^{2}g(x)dx-\int\limits_{0}^{2}f(x)dx$
$A=\int\limits_{-2}^{0}\left(x^3-2x\right)dx-\int\limits_{-2}^{0}\left(6x-x^3\right)dx+\int\limits_{0}^{2}\left(6x-x^3\right)dx-\int\limits_{0}^{2}\left(x^3-2x\right)dx$
$A=\left[\frac{x^4}{4}-2\cdot \frac{x^2}{2}\right]_{-2}^0-\left[6\cdot\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^0+\left[6\cdot\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_{0}^2-\left[\frac{x^4}{4}-2\cdot \frac{x^2}{2}\right]_{0}^2$
$A=\left[\frac{x^4}{4}-x^2\right]_{-2}^0-\left[3x^2-\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^0+\left[3x^2-\frac{x^4}{4}\right]_0^2-\left[\frac{x^4}{4}-x^2\right]_0^2$
$A=\left[\left(\frac{0^4}{4}-0^2\right)-\left(\frac{(-2)^4}{4}-(-2)^2\right)\right]-\left[\left(3\cdot0^2-\frac{0^4}{4}\right)-\left(3\cdot(-2)^2-\frac{(-2)^4}{4}\right)\right]+\left[\left(3\cdot2^2-\frac{2^4}{4}\right)-\left(3\cdot(0)^2-\frac{(0)^4}{4}\right)\right]-\left[\left(\frac{2^4}{4}-2^2\right)-\left(\frac{(0)^4}{4}-(0)^2\right)\right]$
$A=[0-(4-4)]-[0-(12-4)+[12-4-0]-[4-4-0]=16$

Espero ter ajudado!

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