Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **steffany** » 16 Jul 2014, 20:31 · Mensagem não lida por **steffany** » 16 Jul 2014, 20:31

Qual o coeficiente de [tex3]x^{7}[/tex3] na expanssão de [tex3](2 + 3x + x^{2})^{4}[/tex3] ?

a) 18
b) 16
c) 14
d) 12
e) 10

Resposta

d

Obrigada!!

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 16 Jul 2014, 20:52 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 16 Jul 2014, 20:52

Olá.

Note que podemos reescrever $x^2+3x+2$ como $(x+1) \cdot (x+2)$ e consequentemente, podemos reescrever o binômio dado como $(x+1)^4 \cdot (x+2)^4$ . A soma dos coeficientes de $x^7$ é igual a soma do produto $x^3 \cdot x^4$ com o produto $x^4 \cdot x^3$ . Temos:

I:

$\begin{cases} T_{p+1} = \binom{4}{p} \cdot x^{4-p} \cdot 1^p \Leftrightarrow T_2 = \binom{4}{1} \cdot x^3 \cdot 1 \therefore T_2 = 4x^3 \\\\ T_{p+1} = \binom{4}{p} \cdot x^{4-p} \cdot 2^p \Leftrightarrow T_1 = \binom{4}{0} \cdot x^4 \cdot 2^0 \therefore T_1 = x^4 \end{cases}$

II:

$\begin{cases} T_{p+1} = \binom{4}{p} \cdot x^{4-p} \cdot 1^p \therefore T_1 = \binom{4}{0} \cdot x^4 \cdot 1 \therefore T_1 = x^4 \\\\ T_{p+1} = \binom{4}{p} \cdot x^{4-p} \cdot 2^p \therefore T_2 = \binom{4}{1} \cdot x^3 \cdot 2 \therefore T_2 = 8x^3 \end{cases}$

Assim, $C = 4 \cdot 1 + 1 \cdot 8 \therefore C = 12$ .

Letra d.

Att.,
Pedro

Mensagem não lidapor **steffany** » 17 Jul 2014, 18:39 · Mensagem não lida por **steffany** » 17 Jul 2014, 18:39

Muito bem explicada!!! Obrigada...

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