Pré-Vestibular ⇒ (UNIFESO-RJ) Gráfico

[gabrielxpg]

A figura a seguir ilustra um mapa com um par de eixos
cartesianos nos quais as medidas são dadas em quilômetros.
Nesse mapa, há três aeroportos representados pelos pontos M, P
e Q.

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Um avião parte do aeroporto M e segue em linha reta para o
aeroporto P. Lá chegando, toma conhecimento de que esse
aeroporto encontra-se fechado para pousos. Em vez de voltar
para o local de partida, o piloto vira a aeronave em 90° para a sua
direita e segue em linha reta rumo ao aeroporto Q.
O piloto sabe que a distância de P para Q é exatamente a metade
da distância entre M e P.
Dessa forma, a abscissa do ponto Q vale
(A) 200.
(B) 300.
(C) 350.
(D) 400.
(E) 450.

[PedroCunha]

Olá.

Vamos dividir os valores iniciais por 100 para facilitar as contas. Depois, é só lembrarmos de multiplicar de volta no final.

No triângulo retângulo formado pelo ponto M, ponto P e abscissa 1:

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[tex3](PM)^2 = 4^2 + 1^2 \therefore PM^2 = 17 \therefore PM = \sqrt{17}[/tex3]

Do enunciado,

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[tex3]PQ = \frac{PM}{2} \therefore PQ = \frac{\sqrt{17}}{2}[/tex3]

.

No triângulo retângulo PMQ:

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[tex3](MQ)^2 = \sqrt{17}^2 + \left( \frac{\sqrt{17}}{2} \right)^2 \therefore (MQ)^2 = 17 + \frac{17}{4} \therefore (MQ)^2 = \frac{85}{4} \therefore \\\\ MQ = \frac{\sqrt{85}}{2}[/tex3]

Seja

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[tex3]Q(x,y)[/tex3]

com

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[tex3]x > 1, 0 < y < 4[/tex3]

. Aplicando a distância entre pontos:

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[tex3]d_{Q,M} = \frac{\sqrt{85}}{2} \therefore \sqrt{(y-0)^2 + (x-0)^2} = \frac{\sqrt{85}}{2} \therefore x^2 + y^2 = \frac{85}{4} \dots I \\\\
d_{Q,P} = \frac{\sqrt{17}}{2} \therefore \sqrt{(y-4)^2 + (x-1)^2} = \frac{\sqrt{17}}{2} \therefore x^2 + y^2 -2x - 8y = -\frac{51}{4} \dots II \\\\

\text{ I em II: } -2x-8y = -34 \therefore 2x+8y=34 \therefore y = \frac{17-x}{4} \dots III \\\\
\text{ III em I: } x^2 + \frac{289-34x + x^2}{16} = \frac{85}{4} \therefore 17x^2 - 34x - 51 = 0 \therefore \\\\ x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \cancel{x = -1} \text{ ou } x = 3[/tex3]

Assim, a abscissa de Q é

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[tex3]3 \cdot 100 = 300[/tex3]

Att.,
Pedro