Ensino Médio

1) Determine um polinômio de 2° grau, divisivel por x-1 e que quando dividindo por x+1, deixa resto 3
Resposta: [tex3]x^{2}[/tex3]-[tex3]\frac{3x}{2}[/tex3]+[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

2) Determine um polinômio p(x) de 3° grau mônico ,tal que 1 e 2 são raízes do polinômio e p(3)=30
Resposta: [tex3]x^{3}[/tex3]+[tex3]9x^{2}[/tex3][tex3]-34x+24[/tex3]

Mensagem não lidapor **roberto** » 27 Mai 2014, 21:23 · Mensagem não lida por **roberto** » 27 Mai 2014, 21:23

Cada questão em um tópico!

Mensagem não lidapor **Cientista** » 27 Mai 2014, 21:56 · Mensagem não lida por **Cientista** » 27 Mai 2014, 21:56

Olá Anderson,
Vamos pegar o enunciado do número 1:
O enunciado pede um polinómio do [tex3]2^{o}[/tex3] grau, mas repara que falta uma informação, ele deve ser um polinómio do [tex3]2^{o}[/tex3] grau mônico, pois um polinómio do [tex3]2^{o}[/tex3] grau têm [tex3]3[/tex3] incógnitas e nós apenas temos [tex3]2[/tex3] raízes, ficaremos com um sistema a [tex3]3[/tex3] incógnitas mas com apenas grupos, o que não facilita a resolução. Desde o momento que dizem mônico, isso quer dizer que o coeficiente dominante neste caso o valor de a, tem grau [tex3]1[/tex3] . Logo sabemos que a forma canónica de um polinómio/função/equação do [tex3]2^{o}[/tex3] grau é dado por:
[tex3]ax^{2}+bx+c=0[/tex3] , então, já que ele é mônico ficaremos com [tex3]x^{2}+bx+c[/tex3] , onde [tex3]x \neq 0[/tex3] . Logo, temos que as raízes, então arrumando teremos:

[tex3]\begin{cases}
P(1)=0\rightarrow 1^{2}+b.1+c=0\\
P(-1)=3\rightarrow (-1)^{2}+b.(-1)+c=3
\end{cases}[/tex3]

Logo ficaremos com um sistema, onde o objectivo agora é determinar o valor de [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] , uma vez que já temos o valor de a.

[tex3]\begin{cases}
1+b+c=0(I) \\
1-b+c=3(II)
\end{cases}[/tex3] . Fazendo [tex3]I+II[/tex3] , teremos [tex3]2+2c=3[/tex3] , logo [tex3]c=\frac{1}{2}[/tex3] . Logo pegando ele e substituindo em [tex3]I[/tex3] , teremos, [tex3]1+b+\frac{1}{2}=0[/tex3] logo [tex3]b=-\frac{3}{2}[/tex3] . Logo se [tex3]P(x)=x^{2}+bx+c[/tex3] , então na verdade [tex3]P(x)=x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}[/tex3] . A outra questão basta postar no outro tópico, pois o objectivo é o mesmo, basta saber que a forma canónica de um polinómio do [tex3]3^{o}[/tex3] grau é dada por [tex3]ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0[/tex3] , então como ele é mônico logo, [tex3]x^{3}+bx^{2}+cx+d=0[/tex3] , basta substituir em [tex3]x[/tex3] e determinar [tex3]b[/tex3] ,[tex3]c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] (Sistema de equações lineares a [tex3]3[/tex3] incógnitas).
Espero ter ajudado.

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