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Mensagem não lidapor **tayna01** » 26 Mai 2014, 21:27 · Mensagem não lida por **tayna01** » 26 Mai 2014, 21:27

A soma dos termos de mesmo índice de uma PA e uma PG, ambas com elementos positivos e primeiro termo igual a 1, resulta na sequência ([tex3]a_{n}[/tex3] ), com [tex3]a_{1}[/tex3] = 2, [tex3]a_{2}[/tex3] = 6, [tex3]a_{3}[/tex3] = 14,.... O menor n, tal que [tex3]a_{n}[/tex3] é maior que 30 é?

Resposta

A resposta é 4,

muitoo obrigada.

Mensagem não lidapor **poti** » 26 Mai 2014, 21:56 · Mensagem não lida por **poti** » 26 Mai 2014, 21:56

PA: $(1, s_2, s_3, ...)$
PG: $(1, t_2, t_3, ...)$

$1 + 1 = 2$
$s_2 + t_2 = 6$
$s_3 + t_3 = 14$
$\ddots$

Mas:

$s_2 = 1 + r$ , onde $r$ é a razão da PA
$t_2 = 1 \cdot q$ , onde $q$ é a razão da PG
$s_3 = 1 + 2r$
$t_3 = 1 \cdot q^2$

Então:

$\begin{cases} 1 + r + q = 6 \\ 1 + 2r + q^2 = 14 \end{cases}$

$\begin{cases} r = 5 - q \\ 2r + q^2 = 13 \end{cases}$

$10 - 2q + q^2 = 13$
$q^2 - 2q - 3 = 0$

$\boxed{\cancel{q = -1 \Rightarrow r = 6}}$ (pois todos elementos são positivos, ou seja, $q>0$ )
$\boxed{q = 3 \Rightarrow r = 2}$

Então:

PA: $(1, 3, 5, 7 ...)$
PG: $(1, 3, 9, 27 ...)$

Perceba que $a_4 = 7+27 = 34$

Então: $\boxed{n = 4}$

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