Ensino Superior

Mensagem não lidapor **poti** » 26 Mai 2014, 16:42 · Mensagem não lida por **poti** » 26 Mai 2014, 16:42

Sejam [tex3]f,g: \ X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex3] duas funções contínuas. Mostre que as funções [tex3]max \{f,g \}[/tex3] e [tex3]min \{f,g \}[/tex3] também são contínuas.

Mensagem não lidapor **Cássio** » 26 Mai 2014, 20:28 · Mensagem não lida por **Cássio** » 26 Mai 2014, 20:28

Tome [tex3]a\in X,[/tex3] suponha [tex3]f(a)>g(a)[/tex3] . Por simplicidade, consideraremos apenas os epsilons tais que [tex3]0<\epsilon<\frac{f(a)-g(a)}{2}.[/tex3] Dado tal [tex3]\epsilon,[/tex3] existem [tex3]\delta_1, \delta_2>0[/tex3] tais que [tex3]|x-a|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon[/tex3] e [tex3]|x-a|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-g(a)|<\epsilon.[/tex3]

Tomando [tex3]\delta=\text{min}\{\delta_1, \delta_2\}[/tex3] temos

[tex3]|x-a|<\delta\Rightarrow \begin{cases}
|f(x)-f(a)|<\epsilon \\
|g(x)-g(a)|< \epsilon\end{cases}

\iff

\begin{cases}
f(x)\in\(f(a)-\epsilon, f(a)+\epsilon\)\subset\(\dfrac{f(a)+g(a)}{2}, \dfrac{3f(a)-g(a)}{2}\) \\
g(x)\in \(g(a)-\epsilon, g(a)+\epsilon\)\subset \(\dfrac{g(a)-f(a)}{2}, \dfrac{f(a)+g(a)}{2}\)

\end{cases}[/tex3]

(pois [tex3]0<\epsilon<\dfrac{f(a)-g(a)}{2}[/tex3] ).

Notemos pelos intervalos acima que [tex3]f(x)>g(x)[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] em [tex3](a-\epsilon, a+\epsilon).[/tex3] Logo, [tex3]|x-a|<\delta\Rightarrow \text{max}\{f, g\}(x)=f(x)[/tex3] e portanto o limite é [tex3]f(a).[/tex3]

O mesmo raciocínio para o mínimo.

Essa demonstração fica mais clara se você pensar meio geométricamente na reta:

Suponha [tex3]f(a)=4[/tex3] e [tex3]g(a)=2.[/tex3] O fato de serem contínuas significa que tomando x suficientemente próximo de [tex3]a,[/tex3] você consegue colocar [tex3]f(x)[/tex3] tão próximo (quanto se queira) de 4, e g(x) tão próximo quanto se queira de 2. Agora pense nesse "tão próximo quanto se queira" como sendo uma distância menor que a metade da distância entre 4 e 2, ou seja, menor que 1. Daí,

(1) tomando x próximo o suficiente de [tex3]a,[/tex3] você consegue deixar f(x) à menos de 1 centímetro de distância do 4, ou seja, consegue colocar f(x) em (4-1, 4+1) = (3, 5).

(2) tomando x próximo o suficiente de [tex3]a[/tex3] , você consegue g(x) à menos de 1 cm de distância do 2, ou seja, g(x) em (2-1, 2+1)=(1, 3).

Escolhendo o menor dos "próximo o suficiente", você tem as f(x) em (3, 5) e g(x) em (1, 3), ou seja, f(x)>g(x) para todo x "próximo o suficiente".

Mensagem não lidapor **poti** » 26 Mai 2014, 21:43 · Mensagem não lida por **poti** » 26 Mai 2014, 21:43

Cássio, não entendi essa conclusão:

[tex3]|x-a|\Rightarrow \text{max}\{f, g\}(x)=f(x)[/tex3]

Mensagem não lidapor **Cássio** » 26 Mai 2014, 21:51 · Mensagem não lida por **Cássio** » 26 Mai 2014, 21:51

Esqueci o delta aí. O certo é [tex3]|x-a|<\delta.[/tex3]

Mensagem não lidapor **poti** » 10 Jun 2014, 18:50 · Mensagem não lida por **poti** » 10 Jun 2014, 18:50

Descobri um jeito mais fácil.

[tex3]max[f,g] = \frac{f(x) + g(x)}{2} + \frac{|f(x) - g(x)|}{2}[/tex3]

[tex3]min[f,g] = \frac{f(x) + g(x)}{2} - \frac{|f(x) - g(x)|}{2}[/tex3]

Soma de contínuas é contínua, cqd.

Ensino Superior ⇒ Continuidade Tópico resolvido

Continuidade

Re: Continuidade

Re: Continuidade

Re: Continuidade

Re: Continuidade

Ensino Superior ⇒ Continuidade Tópico resolvido

Continuidade

Re: Continuidade

Re: Continuidade

Re: Continuidade

Re: Continuidade

Entrar | Registrar