Pré-Vestibular ⇒ (Cefet-MG) Matemática

[tayna01]

Duas funções são iguais quando possuem os mesmos domínios, contra-domínios e regras de definição. Com base nas funções dadas por f(x)= x²+4 , g(x)= |x| e h(x) = [tex3]\sqrt{x}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x}[/tex3]

, em que seus respectivos domínios e contra-domínios são os maiores conjuntos possíveis de números reais, afirma-se :

I) f(g(x))= f(x)
II) h(g(x))= h(x)
III) f(h(g(x)))= g(x) + 4
IV) h(f(g(x)))= g(x) + 2

Estão corretas apenas as sentenças ;

A resposta é I e III.
Por favor me explique passo a Passo, pois tenho muita dificuldade com funções.. Muito obrigada a quem puder me ajudar

[Albuquerque]

Olá.
Bom, para fazer as análises vamos verificar uma igualdade de cada vez.
Mas antes, vamos verificar os domínios e adotar que todas possuem como contradomínio [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

f(x) e g(x) possuem domínio em [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

pois podem assumir qualquer valor. Entretanto h(x) possui como domínio o intervalo D=[0,+[tex3]\infty[/tex3]

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[tex3]\infty[/tex3]

], pois em reais, não existe raiz quadrada de numero negativo.

I) f(g(x)) = f(x)
Sabemos que x² = (|x|)^2 então a afirmação é verdadeira. porque f(g(x)) = |x|^2+4

II) h(g(x))= h(x)
h(g(x)) = [tex3]\sqrt{|x|}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{|x|}[/tex3]

onde x pode ser qualquer valor. Dessa forma os domínios de h(g(x)) e h(x) são diferentes.
II é falsa

III) f(h(g(x)))= g(x) + 4
f(h(g(x))) = f([tex3]\sqrt{|x|}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{|x|}[/tex3]

)= [tex3](\sqrt{|x|})^2[/tex3]

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[tex3](\sqrt{|x|})^2[/tex3]

+4=g(x)+4. Como os domínios e contradomínios são equivalentes e possuem leis praticamente idênticas III é verdadeira.

IV) h(f(g(x)))= g(x) + 2
Faça a construção da equação... Você deverá ser capaz de perceber que h(f(g(x))) = [tex3](\sqrt{(|x|)^2+4}[/tex3]

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[tex3](\sqrt{(|x|)^2+4}[/tex3]

Embora h(f(g(x)) e g(x)+2 possuem o mesmo domínio, as leis não correspondem.
Então, IV e falsa.

Finalizando:
a) Quando possuímos uma função composta por exemplo f(g(x)) isso significa que você vai pegar a função f e onde tiver x você irá colocar a equação de g(x). Por exemplo: f(x)=x+1 e g(x)=[tex3]x^{2}[/tex3]

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[tex3]x^{2}[/tex3]

g(f(x))=[tex3](x+1)^{2}[/tex3]

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[tex3](x+1)^{2}[/tex3]

f(g(x))=[tex3]x^{2}+1[/tex3]

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[tex3]x^{2}+1[/tex3]

.

b) Quando duas funções possuem a mesma regra de definição isso significa que se você pegar qualquer valor de x e jogar nas equações, ambas precisam dar como resposta o mesmo valor (imagem).