Ensino Médio ⇒ Pontos notáveis de um triângulo

[Dandarah]

Num triângulo ABC, BD e CE são alturas e M é ponto médio do lado BC. Provar que o triângulo MDE é isósceles.

[roberto]

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Observe o triâng. BEC:
EM é mediana relativa à hipotenusa BC, então: EM=BM=MC
Observe o triâng. BDC:
DM é mediana relativa à hipotenusa BC, então: DM=BM=MC
Logo: EM=DM .
Um outro jeito:
Observe o triâng. BEC:
Ele está inscrito em uma semicircunferência de centro em M, e diâmetro BC. Logo EM é raio dessa semicircunferência.
Observe o triâng. BDC:
Ele está inscrito em uma semicircunferência de centro em M, e diâmetro BC. Logo DM é raio dessa semicircunferência.
Se EM e DM são os lados do triâng. e ambos medem "r" (raio), logo: EM=DM e o triãng. é isósceles (2 lados iguais).