Pré-Vestibular ⇒ (ENEM - 2000) Geometria Plana Tópico resolvido

[kessijs]

Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de maneira que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura abaixo :

escada do matematica na veia.jpg (8.51 KiB) Exibido 30624 vezes

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser:

(A) 144.
(B) 180.
(C) 210.
(D) 225.
(E) 240.

[Marcos]

Olá kessijs.Observe a solução:

Os comprimentos dos degraus, em cm, são [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

termos consecutivos de uma [tex3]P.A[/tex3]

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[tex3]P.A[/tex3]

, onde [tex3]a_{1}=30[/tex3]

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[tex3]a_{1}=30[/tex3]

e o [tex3]a_{5}=60[/tex3]

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[tex3]a_{5}=60[/tex3]

.
Assim a soma [tex3]S[/tex3]

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[tex3]S[/tex3]

desses comprimentos, em cm, é dada por:

[tex3]S=\frac{(a_{1}+a_{5}).5}{2}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{(a_{1}+a_{5}).5}{2}[/tex3]

[tex3]S=\frac{(30+60).5}{2}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{(30+60).5}{2}[/tex3]

[tex3]S=\frac{(90).5}{2}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{(90).5}{2}[/tex3]

[tex3]S=225[/tex3]

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[tex3]S=225[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow[/tex3]

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[tex3]\Longrightarrow[/tex3]

[tex3]Letra: (D)[/tex3]

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[tex3]Letra: (D)[/tex3]

Resposta: [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

[kessijs]

Não entendi, por que uma PA?

[paulojorge]

Também não entendi, por que uma P.A?

[MedGab]

É possível resolver essa questão por teorema de Tales? Se for, como?

[caju]

Olá kessijs e paulojorge,

Podemos dizer que é uma P.A. pois as barras laterais da escada são retas e, principalmente, porque os degraus são espaçados igualmente. Assim, a modificação de tamanho para cada degrau será constante, formando uma P.A.

MedGab, para resolver por teorema de Tales, devemos "esticar" o triângulo para ver as semelhanças:

Screen Shot 2017-02-18 at 21.44.32.png (17.82 KiB) Exibido 18688 vezes

Note que chamei de x a distância entre cada degrau.

Podemos fazer a semelhança de triângulos, utilizando a base e a altura de cada triângulo:

[tex3]\frac{30}{h}=\frac{60}{4x+h}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{h=4x}[/tex3]

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[tex3]\frac{30}{h}=\frac{60}{4x+h}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{h=4x}[/tex3]

Agora outra semelhança para encontrar o tamanho do primeiro degrau abaixo do 30, que chamaremos de y:

[tex3]\frac{30}{4x}=\frac{y}{5x}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{y=37,5}[/tex3]

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[tex3]\frac{30}{4x}=\frac{y}{5x}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{y=37,5}[/tex3]

Agora, fazendo uma semelhança de triângulos para cada degrau, achamos cada valor e no final somamos tudo para encontrar o tamanho da madeira que deveria ser cortada para montar todos eles.

Grande abraço,
Prof. Caju

[MedGab]

mas, não é 7x ao invés de 4x porque:

[tex3]\frac{30}{h}=\frac{60}{4x+h} \rightarrow 60h=30(4x+h)\rightarrow 60h=210x+30h\rightarrow 30h=210x\rightarrow h=\frac{210x}{30}\rightarrow \boxed {h=7x}[/tex3]

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[tex3]\frac{30}{h}=\frac{60}{4x+h} \rightarrow 60h=30(4x+h)\rightarrow 60h=210x+30h\rightarrow 30h=210x\rightarrow h=\frac{210x}{30}\rightarrow \boxed {h=7x}[/tex3]

se estiver errado, por favor me corrija. Obrigado!

[caju]

Olá MedGab,

Você cometeu um errinho de multiplicação nos seus cálculos. Veja o seu cálculo corrigido:

[tex3]\frac{30}{h}=\frac{60}{4x+h} \rightarrow 60h=30(4x+h)\rightarrow 60h={\color{red}120x}+30h\rightarrow 30h={\color{red}120x}\rightarrow h=\frac{{\color{red}120x}}{30}= \boxed {h=4x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{30}{h}=\frac{60}{4x+h} \rightarrow 60h=30(4x+h)\rightarrow 60h={\color{red}120x}+30h\rightarrow 30h={\color{red}120x}\rightarrow h=\frac{{\color{red}120x}}{30}= \boxed {h=4x}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju