Ensino Superior ⇒ Divisibilidade Tópico resolvido
Jan 2024
28
18:28
Divisibilidade
Sejam [tex3]a,b\in\mathbb{Z}[/tex3]
. Se [tex3]a^3\mid b^2[/tex3]
, então [tex3]a\mid b[/tex3]
. Verdadeiro ou falso?
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παθμ
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Jan 2024
28
19:43
Re: Divisibilidade
Idocrase,
Verdadeiro.
Escreva os inteiros na forma de produtórios de primos, daí [tex3]a^3=\prod p_i ^{3n_i^{(a)}}[/tex3] e [tex3]b^2=\prod p_i^{2n_i^{(b)}},[/tex3] onde o produtório engloba todos os primos (ou seja, os [tex3]n_i[/tex3] podem ser zero).
Se [tex3]a^3 \mid b^2,[/tex3] temos [tex3]2n_i^{(b)} \geq 3n_i^{(a)}[/tex3] para todos os primos [tex3]p_i,[/tex3] daí [tex3]n_i^{(b)} \geq \frac{3}{2} n_i^{(a)} \Longrightarrow n_i^{(b)} \geq n_i^{(a)}[/tex3] para todo [tex3]i.[/tex3] Ou seja, para todo número primo, o número de fatores que [tex3]b[/tex3] possui é maior ou igual ao número que [tex3]a[/tex3] possui, e portanto [tex3]a \mid b.[/tex3]
Verdadeiro.
Escreva os inteiros na forma de produtórios de primos, daí [tex3]a^3=\prod p_i ^{3n_i^{(a)}}[/tex3] e [tex3]b^2=\prod p_i^{2n_i^{(b)}},[/tex3] onde o produtório engloba todos os primos (ou seja, os [tex3]n_i[/tex3] podem ser zero).
Se [tex3]a^3 \mid b^2,[/tex3] temos [tex3]2n_i^{(b)} \geq 3n_i^{(a)}[/tex3] para todos os primos [tex3]p_i,[/tex3] daí [tex3]n_i^{(b)} \geq \frac{3}{2} n_i^{(a)} \Longrightarrow n_i^{(b)} \geq n_i^{(a)}[/tex3] para todo [tex3]i.[/tex3] Ou seja, para todo número primo, o número de fatores que [tex3]b[/tex3] possui é maior ou igual ao número que [tex3]a[/tex3] possui, e portanto [tex3]a \mid b.[/tex3]
Jan 2024
28
21:21
Re: Divisibilidade
O mesmo vale para [tex3]a^3\mid b^3[/tex3] ?παθμ escreveu: ↑28 Jan 2024, 19:43 Idocrase,
Verdadeiro.
Escreva os inteiros na forma de produtórios de primos, daí [tex3]a^3=\prod p_i ^{3n_i^{(a)}}[/tex3] e [tex3]b^2=\prod p_i^{2n_i^{(b)}},[/tex3] onde o produtório engloba todos os primos (ou seja, os [tex3]n_i[/tex3] podem ser zero).
Se [tex3]a^3 \mid b^2,[/tex3] temos [tex3]2n_i^{(b)} \geq 3n_i^{(a)}[/tex3] para todos os primos [tex3]p_i,[/tex3] daí [tex3]n_i^{(b)} \geq \frac{3}{2} n_i^{(a)} \Longrightarrow n_i^{(b)} \geq n_i^{(a)}[/tex3] para todo [tex3]i.[/tex3] Ou seja, para todo número primo, o número de fatores que [tex3]b[/tex3] possui é maior ou igual ao número que [tex3]a[/tex3] possui, e portanto [tex3]a \mid b.[/tex3]
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