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Mensagem não lidapor **Idocrase** » 21 Jan 2024, 14:56 · Mensagem não lida por **Idocrase** » 21 Jan 2024, 14:56

Encontre o quociente e o resto da divisão de [tex3]3^{250}-1[/tex3] por [tex3]3^{100}-1[/tex3] .

21 Jan 2024, 17:50

[tex3]x^{10} - y^{10} = (x-y)(x^5+y^5)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3 +y^4)[/tex3]

[tex3]3^{250}-1 = (3^{25}-1)(3^{125}+1)(3^{100}+3^{75}+3^{50}+3^{25}+1)[/tex3]

pra fazer o resto da divisão podemos aplicar o [tex3]\mod (3^{100}-1)[/tex3] nesses fatores, sendo conveniente agrupar os dois primeiros e fazer o terceiro separado:

[tex3] 3^{100}+3^{75}+3^{50}+3^{25}+1 \mod (3^{100}-1) \equiv 2 +3^{75}+3^{50}+3^{25} \mod (3^{100}-1)[/tex3]

[tex3]3^{125}+1 \mod (3^{100}-1) \equiv 3^{125} +1 - 3^{25}(3^{100}-1) \mod (3^{100}-1) \equiv 3^{25} + 1 \mod (3^{100}-1)[/tex3]

queremos então:

[tex3](3^{25}-1)(3^{25}+1)(2 +3^{75}+3^{50}+3^{25} ) \mod (3^{100}-1)[/tex3]

comecemos pelo produto dos dois últimos:

[tex3]2 +2(3^{75}+3^{50})+3^{26} +3^{100} \mod (3^{100}-1) \equiv 3 +3^{26}+ 2(3^{75}+3^{50}) \mod (3^{100}-1)[/tex3]

agora vezes o termo [tex3]3^{25}-1[/tex3] :

[tex3]3^{26} +3^{51}+ 2(1+3^{75}) - [3 +3^{26}+ 2(3^{75}+3^{50}) ] \mod (3^{100}-1) \equiv -1+3^{51}-3^{50} \mod (3^{100}-1)[/tex3]

Se eu não errei conta, é isso. O resto é [tex3]2 \cdot 3^{50}-1[/tex3] ... mas acho que errei conta, seria bom revisar isso que eu fiz.

Veja:

[tex3]3^{250}-1 = (3^{100}-1)3^{50}(3^{100}+1) +3^{50}-1 = [/tex3]
O quociente é [tex3]3^{50}(3^{100}+1)[/tex3] e o resto é [tex3]3^{50}-1[/tex3] . Pra mim apareceu um dois.

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