IME / ITA ⇒ (IME-CG) Limites

[Jpgonçalves]

Determine, caso exista, o valor do limite abaixo:

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} x tanh(\frac{1}{x})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} x tanh(\frac{1}{x})[/tex3]

Infelizmente não possuo gabarito.

[παθμ]

Jpgonçalves,

[tex3]\tanh(1/x)=\frac{e^{1/x}-e^{-1/x}}{e^{1/x}+e^{-1/x}}.[/tex3]

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[tex3]\tanh(1/x)=\frac{e^{1/x}-e^{-1/x}}{e^{1/x}+e^{-1/x}}.[/tex3]

Suponha que [tex3]x \rightarrow 0^+.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \rightarrow 0^+.[/tex3]

Daí, temos [tex3]\frac{1}{x} \rightarrow \infty.[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{x} \rightarrow \infty.[/tex3]

Isso faz com que [tex3]e^{-1/x} \rightarrow 0[/tex3]

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[tex3]e^{-1/x} \rightarrow 0[/tex3]

e [tex3]e^{1/x} \rightarrow \infty,[/tex3]

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[tex3]e^{1/x} \rightarrow \infty,[/tex3]

então desprezando o termo finito somado/subtraído de um termo que diverge, temos:

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\tanh(1/x)=\frac{e^{1/x}}{e^{1/x}}=1.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\tanh(1/x)=\frac{e^{1/x}}{e^{1/x}}=1.[/tex3]

Uma análise quase igual, no caso em que [tex3]x \rightarrow 0^-[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \rightarrow 0^-[/tex3]

e portanto [tex3]\frac{1}{x} \rightarrow -\infty,[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{x} \rightarrow -\infty,[/tex3]

nos mostra que [tex3]\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\tanh(1/x)=-1.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\tanh(1/x)=-1.[/tex3]

A moral da história é que o limite da tangente hiperbólica é finito, então como [tex3]\lim_{x \rightarrow 0}x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}x=0[/tex3]

a resposta do problema é [tex3]\boxed{0}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{0}.[/tex3]

[Jpgonçalves]

Muito obrigado, παθμ!