Qual o resto de 1^2000 + 2^2000 + 3^2000 + .......+ 1999^2000 + 2000^2000 na divisão por 7 ?
Gab: 6
Ensino Superior ⇒ Congruência modular Tópico resolvido
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FelipeMartin
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Dez 2023
20
08:40
Re: Congruência modular
[tex3]2000 =20 \cdot 100 \equiv 40 \cdot 50 \equiv 40 \mod 7 \equiv 5 \mod 7[/tex3]
[tex3]2000 = 5 + x \cdot 7 \implies x = \frac{1995}7 = 285[/tex3]
então teremos que essa soma é equivalente a
[tex3]285 \cdot (1^{2000} +2^{2000} + ... + 7^{2000}) + (1^{2000}+2^{2000}+3^{2000}+4^{2000}+5^{2000}) \mod 7[/tex3]
agora vejamos quanto vale
[tex3]1^{2000} +2^{2000} + ... + 7^{2000} \mod 7 \equiv 1^{2000} +2^{2000} + ... + 6^{2000} \mod 7 = [/tex3]
[tex3]\equiv 2 \cdot (1^{2000}+2^{2000}+3^{2000}) \mod 7 \equiv 2 (1 + 2^{2000}+3^{2000}) \mod 7[/tex3]
sabemos que [tex3]2^3 = 8 \equiv 1 \mod 7 \implies 2^{2000} = 8^{666} \cdot 4 \equiv 4 \mod 7[/tex3]
sabemos que [tex3]3^3 = 27 \equiv -1 \mod 7[/tex3] , logo, [tex3]3^{2000} = 27^{666} \cdot 9 \equiv 9 \mod 7 \equiv 2 \mod 7 [/tex3]
logo:
[tex3]1^{2000} +2^{2000} + ... + 7^{2000} \mod 7 \equiv 2 \cdot (1+4 + 2) \mod 7 \equiv 0 \mod 7[/tex3]
por fim, sabemos que [tex3]1^{2000}+2^{2000}+3^{2000}+4^{2000}+5^{2000} +6^{2000} \equiv 0 \mod7 \implies 1^{2000}+2^{2000}+3^{2000}+4^{2000}+5^{2000} \equiv -1 \mod 7 [/tex3]
pronto a soma total é [tex3]-1 \mod 7 \equiv 6 \mod 7[/tex3]
[tex3]2000 = 5 + x \cdot 7 \implies x = \frac{1995}7 = 285[/tex3]
então teremos que essa soma é equivalente a
[tex3]285 \cdot (1^{2000} +2^{2000} + ... + 7^{2000}) + (1^{2000}+2^{2000}+3^{2000}+4^{2000}+5^{2000}) \mod 7[/tex3]
agora vejamos quanto vale
[tex3]1^{2000} +2^{2000} + ... + 7^{2000} \mod 7 \equiv 1^{2000} +2^{2000} + ... + 6^{2000} \mod 7 = [/tex3]
[tex3]\equiv 2 \cdot (1^{2000}+2^{2000}+3^{2000}) \mod 7 \equiv 2 (1 + 2^{2000}+3^{2000}) \mod 7[/tex3]
sabemos que [tex3]2^3 = 8 \equiv 1 \mod 7 \implies 2^{2000} = 8^{666} \cdot 4 \equiv 4 \mod 7[/tex3]
sabemos que [tex3]3^3 = 27 \equiv -1 \mod 7[/tex3] , logo, [tex3]3^{2000} = 27^{666} \cdot 9 \equiv 9 \mod 7 \equiv 2 \mod 7 [/tex3]
logo:
[tex3]1^{2000} +2^{2000} + ... + 7^{2000} \mod 7 \equiv 2 \cdot (1+4 + 2) \mod 7 \equiv 0 \mod 7[/tex3]
por fim, sabemos que [tex3]1^{2000}+2^{2000}+3^{2000}+4^{2000}+5^{2000} +6^{2000} \equiv 0 \mod7 \implies 1^{2000}+2^{2000}+3^{2000}+4^{2000}+5^{2000} \equiv -1 \mod 7 [/tex3]
pronto a soma total é [tex3]-1 \mod 7 \equiv 6 \mod 7[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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