Ensino Superior ⇒ Máximo e mínimo Tópico resolvido

[Dahyun18]

Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. O alívio obtido pela ingestão do primeiro analgésico é dado por A1(x) = [tex3]–4x^2 + 8x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]–4x^2 + 8x[/tex3]

e o do segundo por A2(x) = [tex3]–1,8x^3 + 5, 4x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]–1,8x^3 + 5, 4x[/tex3]

, sendo x o número de horas após o medicamento ser tomado.
a) A que horas o primeiro analgésico proporcionará um alívio máximo?
b) A que horas o segundo analgésico proporcionará um alívio máximo?
c) O fabricante do primeiro analgésico afirma que seu produto tem ação mais intensa e mais
rápida do que o segundo analgésico. Em que instante a diferença entre os efeitos dos dois é
mínima?

[JayHardway]

a)
Primeiro analgésico:
A1(x) = -4x² + 8x
A1(x)' = -8x + 8 / A1(x)' = 0
-8x + 8 = 0
8x = 8
x = 1 hora.

b)
Segundo analgésico:
A2(x) = -1,8x³ + 5,4x
A2(x)' = -5,4x² + 5,4 / A2(x)' = 0
-5,4x² + 5,4 = 0

Detla = 0² - 4.(-5,4).5,4 = 116,6

Bhaskara:
x1 = +10,8/2.(-5,4) = -1
x2 = -10,8/2.(-5,4) = 1

Tem como ser -1 hora? Não! Então x = 1 hora.

c)
Comparando os dois analgésicos:
A1(x) - A2(x) = -4x² + 8x - (-1,8x³ + 5,4x)
A1(x) - A2(x) = -4x² + 8x + 1,8x³ - 5,4x
A1(x) - A2(x) = 1,8x³ - 4x² + 2,4x

Tirando a derivada dessa comparação:
A1(x) - A2(x) = 1,8x³ - 4x² + 2,4x
A1(x) - A2(x)' = 5,4x² - 8x + 2,4 / A1(x) - A2(x)' = 0
5,4x² - 8x + 2,4 = 0

Delta = (-8)^2 - 4.(5,4).(2,4) = 12,16

Bhaskara:
x1 = (8 + 3,4)/ 2.(5,4) = 11,04/10,8 ≃ 1,05
x2 = (8 - 3,4)/2.(5,4) ≃ 0,4

Verificando qual dos dois é o ponto mínimo de diferença entre os dois:
x1 ≃ 1,05, vou pegar os horários de 1 e 1,1.
1 = 5,4.1² - 8.1 + 2,4 = - 0,2
1,1 = 5,4.(1,1)^2 - 8.(1,1) + 2,4 = + 0,1
Portanto, aqui (x ≃ 1,05) a concavidade é voltada para cima, de acordo com o teste da derivada primeira, então essa seria a resposta do ponto mínimo da diferença entre o efeito dos dois.

Vou fazer a do outro x, só por via das dúvidas:
x ≃ 0,4, vou usar os horários de 0,3 e 0,5.
0,3 = 5,4.(0,3)^2 - 8.(0,3) + 2,4 = + 0,486
0,5 = 5,4.(0,5)^2 - 8.(0,5) + 2,4 = - 0,25
Ou seja, como já previsto, aqui (x ≃ 0,4) a concavidade é voltada para baixo, o que não é o que a questão pede, portanto, desconsidera-se.

Como não tem gabarito, e não sou um expert, não afirmo que esteja correto, mas acredito que está sim. Espero ter ajudado